Bạn học delta chưa nhỉ, HSG chắc chắn là học rồi:vv

Ta cần chứng minh: \(\dfrac{a^2}{2}+b^2+c^2>ab+bc+ca\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2+ab+ca+2bc-3bc+\dfrac{a^2}{4}>0\) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}+b+c\right)^2+\dfrac{a^2}{12}+\dfrac{a^2}{6}-3bc>0\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}+b+c\right)^2+\dfrac{a^2-36bc}{12}+\dfrac{a^2}{6}>0\) Mà \(a^3>36;abc=1\Rightarrow a^3>36abc\Rightarrow a^2>36bc\) 

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{2}+b+c\right)^2+\dfrac{a^2-36bc}{12}+\dfrac{a^2}{6}>0\) luôn đúng

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{3}+b^2+c^2+2bc-3bc-a\left(b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)+\frac{a^2}{12}-3bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^3-36abc}{12a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}\ge0\)

Mà \(a^3>36\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a^3-36>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}>0\)

Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho sai

a) Ta có BĐT:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

cảm ơn ạ

câu 1 . Theo bđt côsi ta có \(a^3+b^3\ge ab(a+b)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{abc(a+b+c)}\)

tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc(a+b+c)}\)và\(\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{b}{abc(a+b+c)}\)

Cộng vế theo vế ta có  \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{b^3+a^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

a) \(S=\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\Sigma_{cyc}\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}-\frac{\Sigma_{cyc}\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^2+4ab+b^2-c^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c^2+4ca+a^2-b^2\ge0\)

Ta có: \(VT=\left(a^2+4ab+b^2-c^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(b^2+4bc+c^2-a^2\right)\left(b-c\right)^2+\left(c^2+4ca+a^2-b^2\right)\left(a-b+b-c\right)^2\)

\(=\left(2a^2+4ab+4ca\right)\left(a-b\right)^2+\left(2c^2+4ca+4bc\right)\left(b-c\right)^2+\left(c^2+4ca+a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)Ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

b) \(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{abc}-\frac{9\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\) (phân tích cái tử của phân thức thức nhất thành nhân tử rồi nhóm lại)

\(\Leftrightarrow\left[\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b-2c\right)^2\right]\left(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc}{abc\left(a^2+b^2+c^2\right)}\right)\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

P/s: Đáng ráng phân tích tiếp cái ngoặc phía sau cho đẹp nhưng lười quá nên thôi:v (dùng Cauchy nó cũng đúng rồi nên phân tích làm gì cho mệt)

Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, No choice teen, tth, @Akai Haruma, @Nguyễn Huy Thắng, @Nguyễn Thị Ngọc Thơ

Mn giúp em vs ạ! Cảm ơm nhiều ạ!