a) Giải pt: \(\frac{4}{\sqrt{x-2}}+\frac{1}{\sqrt{y}-1}+\frac{25}{\sqrt{z-5}}=16-\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}-\sqrt{z-5}\)
Giải phương trình:
\(a)\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\\ b)x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\\ c)\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-5}}\\ d)x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\\ e)\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Bạn xem lại đề câu b và c nhé !
a) \(\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\) \(\left(ĐK:x\ge2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+4>x^2-4x+4\)
\(\Leftrightarrow6x>0\Leftrightarrow x>0\) kết hợp với ĐKXĐ
\(\Rightarrow x\ge2\) thỏa mãn đề.
d) \(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)
\(ĐKXĐ:x\ge2,y\ge3,z\ge5\)
Pt tương đương :
\(\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5-6\sqrt{z-5}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
e) \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\) (1)
\(ĐKXĐ:x\ge0,y\ge1,z\ge2\)
Phương trình (1) tương đương :
\(x+y+z-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)( Thỏa mãn ĐKXĐ )
Giải phương trình:
\(a)\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\\ b)x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\\ c)\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-5}}\\ d)x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\\ e)\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Cu Hùng lên mà lấy bài này
1 Cho Biểu thức \(\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x+1}}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
a, Rút gon A
b,tìm GTNN của A
Tìm x để \(B=\frac{2\sqrt{x}}{A}\) là số nguyên
2 giải pt
a,\(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2019}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
b,\(\left(x-5\right)^{2010}+\left(x-6\right)^{2010}=1\)
3 Cho các số o âm x,y,z thõa mãn \(x+y+z\le3\) . Tìm GTLn \(A=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(x+y+z\right)\)
4 giải pt nghiệm nguyên
\(4x^2-8y^3+2z^2+4x-4=0\)
5 tín số nguyên a,b t/m \(\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}\)
6giải pt \(\sqrt{x^2+1-2x}+\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{1+2012^2+\frac{2012^2}{2013^2}}+\frac{2012}{2013}\)
\(\sqrt{1-x}=\sqrt{6-x}-\sqrt{-5-2x}\)
7 Tìm GTNN , GTLN \(M=2x+\sqrt{5-x^2}\)
8 cho\(x,y,z\in(0,1]\)
CM \(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
\(\sqrt{1+a^2+\frac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}=\frac{a^2+a+1}{\left(a+1\right)}\Rightarrow\sqrt{1+2012^2+\frac{2012^2}{2013^2}}+\frac{2012}{2013}=\frac{2013^2}{2013}=2013\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=|x-1|+|x-2|=2013\)
giải tiếp nha
1) Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
Chứng minh rằng \(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\le\frac{1}{2}\)
2) Giaỉ phương trình
\(\frac{4}{\sqrt{x-2}}+\frac{1}{\sqrt{y-1}}+\frac{25}{\sqrt{z-5}}=16-\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}-\sqrt{z-5}\)
Thôi giải lại câu 1:v (ý tưởng dồn biến là quá trâu bò! Bên AoPS em mới phát hiện ra có một cách bằng Cauchy-Schwarz quá hay!)
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{9}{2}\)(*)
BĐT này đúng theo Cauchy-Schwarz: \(VT_{\text{(*)}}\le\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\frac{9}{2}\)
Ta có đpcm.
Equality holds when a = b = c = 1 (Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = 1)
1/Đặt \(VT=f\left(a;b;c\right)\) và \(0< t=\frac{a+b}{2}\)
Ta có: \(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+a^2+c^2}-\frac{2}{5t^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}-\frac{1}{2t^2+4c^2}\)
\(=\frac{5t^2-4a^2-b^2}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{5t^2-4b^2-a^2}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}+\frac{2t^2-a^2-b^2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\)
\(=-\frac{1}{4}\left(a-b\right)\left[\frac{\left(11a+b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{\left(a+11b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\right]+\frac{2t^2-a^2-b^2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\)
Xét cái ngoặc to: \(\frac{\left(11a+b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{\left(a+11b\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(11a+b\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)-\left(a+11b\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(7a^2-36ab+7b^2+10c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}\)
Từ đó: f(a;b;c) -f(t;t;c)
\(=-\frac{\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\left(7a^2-36ab+7b^2+10c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}+\frac{-\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\)
\(=-\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\left[\frac{\left(7a^2-36ab+7b^2+10c^2\right)}{\left(5t^2+c^2\right)\left(4a^2+b^2+c^2\right)\left(4b^2+a^2+c^2\right)}+\frac{2}{\left(a^2+b^2+4c^2\right)\left(2t^2+4c^2\right)}\right]\le0\)
Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)=f\left(t;t;3-2t\right)\)
\(=\frac{-9\left(t-1\right)^4}{2\left(3t^2-8t+6\right)\left(3t^2-4t+3\right)}+\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\)
Ta có đpcm.
1/ cho bt:A=\(\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{x+\sqrt{x}}\)
tìm gt của x để P=\(\sqrt{x}\)+ A có gt nhỏ nhất
2/giải hệ pt:\(\hept{\begin{cases}xy+x+y-1=0\\yz+y+z-5=0\\zx+x+z-2=0\end{cases}}\)
a) Giải pt: \(\sqrt{1-2017x}+\sqrt{1+2017x}=\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\)
b) Giải hpt: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{cases}}\)
a, VP >= \(2\sqrt{\left(x+1\right).\frac{1}{x+1}}\)= 2
VT^2 = 2 + 2\(\sqrt{\left(1-2017x\right).\left(1+2017x\right)}\)< = 2 + 1-2017x+1+2017x = 4
=> VT < = 2
=> VT < = VP
Dấu "=" xảy ra <=> 1-2017x = 1+2017x và x+1 = 1 <=> x=0
Vậy ............
b, Có : 4 = (1/x+1/y+1/z)^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 2/xy + 2/yz + 2/zx
=> 1/x^2+1/y^2+1/z^2+2/xy+2/yz+2/zx = 2/xy-1/z^2
<=> 1/x^2+1/y^2+1z^2+2/xy+2/yz+2/zx-2/xy+1/z^2 = 0
<<=> 1/x^2+1/y^2+2/z^2+2/yz+2/zx = 0
<=> (1/x+1/z)^2 + (1/y+1/z)^2 = 0
<=> 1/x+1/z = 1/y+1/z = 0
<=> x=y=-z
<=> x=y=1/2 ; z=-1/2
Tk mk nha
giải pt
a)\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\)
b)\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2\)
c)\(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}+\sqrt{z-5}=\frac{1}{2}\left(x+y+z-7\right)\)
d)\(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\frac{3xy}{2}\)
a) VT bạn bình phương rồi B.C.S sẽ được VT<=2
VP=3x^2-12x+12+2=3(x-2)^2+1>=2
Dấu = xảy ra khi x=2
\(\text{Đk: }1,5\le x\le2,5\)
Áp dụng bđt cauchy ta có:
\(\text{VT }\Leftrightarrow\frac{2x-3+1+1-2x+1}{2}=2\)
Mà: \(\text{VP}=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
\(\text{ĐT}\Leftrightarrow x=2\)
\(\Rightarrow x=2\)
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (có thể dùng BĐT côsi)
\(y=\left|x\right|\sqrt{25-x^2}Với-5\le x\le5\)
\(f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\sqrt{1-x-2x^2}\)
\(E=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)
TÍNH
\(\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}\)
\(\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2012^2}+\frac{1}{2013^2}}\)
GIÚP EM ĐI Ạ, MAI EM PHẢI KIỂM TRA RỒI
Giải phương trình
a) x+y+z=2. \(\left(2\sqrt{x+1}+3\sqrt{y+2}+4\sqrt{z+3}\right)\)
b) \(\frac{16}{\sqrt{x-2012}}+\frac{1}{\sqrt{y-2013}}=10-\sqrt{x-2012}-\sqrt{y-2013}\)
b) đk: \(x>2012;y>2013\)
pt \(\frac{16}{\sqrt{x-2012}}+\sqrt{x-2012}+\frac{1}{\sqrt{y-2013}}+\sqrt{y-2013}=10\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{16}{\sqrt{x-2012}}.\sqrt{x-2012}}+2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{y-2013}}.\sqrt{y-2013}}=8+2=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-2012=16\\y-2013=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2028\\y=2014\end{cases}}\)