1. Phải là \((a+b+c)^{\color{red}{2}}=3(ab+bc+ac)\) chứ nhỉ?
VD: Với \(a=b=c=1\) thì \((a+b+c)^3=27\ne 3(ab+bc+ac)=9\) !!!

a, 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ 

= 7 . (5²)ⁿ - 7 . 6ⁿ + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25ⁿ - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25 - 6) . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

Vì 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) ⋮ 19 và 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ ⋮ 19

b, 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} 

= 121 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ - 12 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ + 12(144ⁿ - 11ⁿ) 

= 133 . 11ⁿ + 12 . (144 - 11) . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

= 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

Vì 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133 và 133 . 11ⁿ ⋮ 133

=> 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133

=> 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} ⋮ 133

          Bài làm :

a) 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ 

= 7 . (5²)ⁿ - 7 . 6ⁿ + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25ⁿ - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25 - 6) . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

Vì 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) ⋮ 19 và 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> Điều phải chứng minh

b) 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} 

= 121 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ - 12 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ + 12(144ⁿ - 11ⁿ) 

= 133 . 11ⁿ + 12 . (144 - 11) . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

= 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

Vì 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133 và 133 . 11ⁿ ⋮ 133

=> 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133

=> Điều phải chứng minh

1. 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹

= 11ⁿ. 121 + 144ⁿ.12

=11ⁿ.(133-12) + 144ⁿ.12

= 11ⁿ.133 + 12(144ⁿ - 11ⁿ)

11ⁿ.133 chia het cho 133

144ⁿ-11ⁿ chia hết cho 144-11=133

Theo tớ chỗ 144^n -11^n phải sửa thành 133^n+11^n.Cám ơn cậu đã giúp twos giải toán.

Lời giải:

a)

\(A=11^{n+2}+12^{2n+1}\)

Ta thấy \(12^2\equiv 11\pmod {133}\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 11^n.12\pmod {133}\)

Do đó \(A=11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv 11^{n+2}+11^n.12\pmod {133}\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 11^n(11^2+12)\equiv 11^n.133\equiv 0\pmod {133}\)

Vậy \(A\vdots 133\) (đpcm)

b) Đề bài không rõ

c)

Ta thấy: \(5^{2}=25\equiv 6\pmod {19}\)

\(\Rightarrow 7.5^{2n}\equiv 7.6^n\pmod {19}\)

\(\Rightarrow 7.5^{2n}+12.6^n\equiv 7.6^n+12.6^n\equiv 19.6^n\equiv 0\pmod {19}\)

Vậy \(7.5^{2n}+12.6^n\vdots 19\) (đpcm)

a) Giải:

Đặt \(A_n=11^{n+2}+12^{2n+1}\)\((*)\) Với \(n=0\) ta có:

\(A_0=11^2+12^1=133\) \(⋮133\Rightarrow\) \((*)\) đúng

Giả sử \((*)\) đúng đến giá trị \(k=n\) tức là:

\(B_k=11^{k+2}+12^{2k+1}\) \(⋮133\left(1\right)\)

Xét \(B_{k+1}-B_k\)

\(=11^{k+1+2}+12^{2\left(k+1\right)+1}-\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)\)

\(=11^{k+3}-11^{k+2}+12^{2k+3}-12^{2k+1}\)

\(=10.11^{k+2}+143.12^{2k+1}\)

\(=10.121.11^k+143.12.144^k\)

\(\equiv\) \(10.121.11^k+10.12.11^k\)

\(\equiv\) \(10.11^k\left(121+12\right)\) \(\equiv\) \(0\left(mod133\right)\)

Theo giả thiết quy nạy \(\left(1\right)\) ta có: \(B_k⋮133\Leftrightarrow B_{k+1}⋮133\)

Hay \((*)\) đúng với \(n=k+1\) \(\Rightarrow\) Đpcm