Giả sử 10^150 + 5.10^50+1=m^3 (m là số tự nhiên)
Ta thấy VT có tận cùng là 1, suy ra VP phải có tận cùng 1.
mà 1^3=1,2^3=8,... nên m phải có tận cùng là 1, hay m=10k+1 (k là số tự nhiên)
10^150 + 5.10^50+1=(10k+1)^3=1000.k^3+300.k^2+30.k+1
10^150 + 5.10^50 - 1000.k^3- 300.k^2-30.k=0 
suy ra A=10^150 + 5.10^50 - 1000.k^3chia hết cho 3
10^150=(9+1)^150 chia 3 dư 1
5.10^50=5.(9+1)^50 chia 3 dư 2
1000k=999k+k
suy ra k chia hết cho 3
10^150=(9+1)^150 chia 9 dư 1
5.10^50=5.(9+1)^50 chia 9 dư 5
suy ra 10^150 + 5.10^50chia 9 dư 6 (**)
mà 1000.k^3+ 300.k^2+30.k chia hết cho 9 (do k chia hết cho 3) (***)
Từ (**)(***) suy ra mâu thuẫn.
Vậy 10^150 + 5.10^50+1không thể là lập phương của 1 số tự nhiên.

Ta có : 10¹⁵⁰ < 10¹⁵⁰ + 5.10⁵⁰ + 1 < (10⁵⁰)³ + 3 (10⁵⁰)² + 3.10⁵⁰ + 1

Hay : (10⁵⁰)³ < 10¹⁵⁰ + 5.10⁵⁰ + 1 < (1050 + 1)³

→ 10¹⁵⁰ + 5.10⁵⁰ + 1 không là lập phương của một số tự nhiên

Ta thấy:

\(\left(10^{50}\right)^3

Xét thấy:

\(\left(10^{50}\right)^3< 10^{150}+5.10^{50}+1< 10^{150}+3.\left(10^{50}\right)^2+3.10^{50}+1=\left(10^{50}+1\right)^3\)

Vậy \(10^{150}+5.10^{50}+1\) không là lập phương của 1 số tự nhiên

Bài 1. Ta chứng minh \(A=10^{150}+5\cdot10^5+1\) không là số lập phương. 

Bổ đề. Một số lập phương không âm bất kì chia cho 9 chỉ có thể dư là 0,1 hoặc 8.

Chứng minh. Xét \(x\) là số tự nhiên bất kì. Nếu \(x\) chia hết cho 3  thì \(x^3\)  hiển nhiên chia hết cho 9 nên số dư chia cho 9 bằng 0.

Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+1\to x^3=\left(3k+1\right)^3=27k^3+27k^2+9k+1\) chia 9 có số dư là 1.

Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+2\to x^3=\left(3k+2\right)^3=27k^3+54k^2+18k+8\) chia 9 có số dư là 8.

Quay trở lại bài toán, ta thấy \(10\) chia 9 dư 1 nên \(A\) chia 9 dư là \(1+5+1=7\to\)\(A\) không thể là lập phương của số tự nhiên.

Bài 2. Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với n=****. Giả sử đúng đến n, thức là ta đã có \(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2.\)

Khi đó \(1^3+2^3+\cdots+n^3+\left(n+1\right)^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\)

\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3=\left(n+1\right)^2\cdot\frac{n^2+4n+4}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}.\)

Do đó ta có \(1^3+2^3+\cdots+\left(n+1\right)^3=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}=\left(1+2+\cdots+n+\left(n+1\right)\right)^2\)

Đặt  B = 10ⁿ + 10^n-1 + ...+ 10 + 1

=> 10.B = 10ⁿ⁺¹ + 10ⁿ + ...+ 10² + 10

=> 10B - B = 10ⁿ⁺¹ -1

=> 9B = 10ⁿ⁺¹ - 1

Ta có: 9A = 9B. (10ⁿ⁺¹ + 5) + 9 = (10ⁿ⁺¹ -1).(10ⁿ⁺¹ + 5) + 9

9A = (10ⁿ⁺¹)² + 5.10ⁿ⁺¹ - 10ⁿ⁺¹ - 5 + 9 = (10ⁿ⁺¹)² + 4.10ⁿ⁺¹ + 4

=  (10ⁿ⁺¹ + 2)²

=> A = \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)

Vì (10ⁿ⁺¹ + 2 ) chia hết cho 3 nên \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\) là số chính phương

=> A là số chính phương

Ta có công thức: aⁿ-1=(a-1)(a^n-1+a^n-2+...+a+1)

Từ đó suy ra:

A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)

Đặt 10ⁿ⁺¹=B => A=\(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)

=> A=\(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)

       = \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)

       = \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left\{n\right\}}}{3}\right)^2\)

       = 333...34²

Vậy A là số chính phương. (1)

Gỉa sử A=m³, m thuộc N

=> 333...34_{{n số 3}} = m³

=> m³ chia hết cho 2

=> m chia hết cho 2

=>  m³ chia hết cho 8          Hay         (2.1666..67_{{n-1 số 6}} )² chia hết cho 8

=>4.1666..67²_{{n-1 số 6}} chia hết cho 8   

=>1666..67² chia hết cho 2 (Vô Lý)

Vậy A ko thể là lập phương của 1 số tự nhiên.       (2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Ta có công thức sau: aⁿ - 1 = (a - 1) . (a^n-1 + a^n-2 +. . .+ a + 1)

Từ đây ta được quyền suy ra:

A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)

Đặt 10ⁿ⁺¹ = B \(\Rightarrow\)A = \(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)

\(\Rightarrow\)A = \(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)

            = \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)

            = \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left[n\right]}}{3}\right)^2\)

            = 333...34²

Vậy A là số chính phương. (1)

Giả sử A = m³ (m\(\in\)N) = m³

\(\Rightarrow\)333...34{n số 3} = m³

\(\Rightarrow\)m³ chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)m chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)m³ chia hết cho 8 hay (2.1666..67{n - 1 số 6} )^{2 chia hết cho 8}

\(\Rightarrow\)4.1666..67²_{{n - 1 số 6}} chia hết cho 8

\(\Rightarrow\)1666..67² chia hết cho 2 (vô lí)

Vậy A không thể là lập phương của 1 số tự nhiên. (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)Điều phải chứng minh.