tịt

a, xét tam giác ABE và tam giác ACD có:

AC=AB(gt)

góc A chung

góc ABE = góc ACD( do ABC= góc ACB, tia p/giác)

suy ra tam giác ABE= tam giác ACD(g.c.g)

suy ra BE=CD, AE=AD(đpcm)

Đặt a/b =c/d =k =>a =bk ,c =dk

Ta có: ab/cd =bk.b /dk.d =b^2.k /d^2 .k =(b/d)^2                                      ₍₁₎

           (a+b)^2 /(c+d)^2 =(bk+b/dk+d)^2 =[b(k+1)/d(k+1)]^2 =(b/d)^2       ₍₂₎

Từ(1)(2) suy ra ab/cd  =(a+b)^2 /(c+d)^2

Theo bđt tam giác ta có: a<b+c 

Do a>0 => a²<ab+ac 

Tương tự có b²<bc+ab;c²<ac+bc

Suy ra a²+b²+c²<2(ab+bc+ca)

Bài này chắc dùng phương pháp hạ bậc + chọn điểm rơi. :v

                         Lời giải:

Dự đoán dấu "=" xảy ra tại a = b = 1

Ta có: \(1+a^2\ge2a;1+b^2\ge2b\) (cô si)

Suy ra \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\) (1)

Áp dụng BĐT Am-Gm (Cô si),ta có: \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

Lại có: \(\frac{2}{1+ab}\ge\frac{2}{1+\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{2}{1+\frac{2}{2}}=1\) (2)

Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le2\)

Chứng minh tiếp đi:v,bí r:v

: ở đâu có nhãn xanh thế tth?

meow?

Với mọi a,b,c ta đều có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0.\)Dấu "=" chỉ xảy ra khi a = b = c.

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)(1)

a) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow a=b=c\)đpcm (a)

b) \(\left(1\right)\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2ba+2ac=\left(a+b+c\right)^2\)

nên \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a=b=c\)đpcm (b)

c) Từ \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

nên \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a=b=c\)đpcm (c).

Trừ VT cho VP rồi khai triển về dạng hđt là OK

a^2+b^2/a^2+c^2=b^2/c^2=b^2/ab=b/a

Bạn ơi , bạn xem lại đề nhé! Mình làm thế này không biết có đúng đề không nữa?

Ta có \(a^2+c^2\ge0\)  (gt)  mà \(a^2\ge0 \forall a, c^2\ge0 \forall c\)=> \(a\ne0 , c\ne0\)=> \(b\ne0\)( vì \(ab=c^2\))

Với \(a,b,c \ne0\),  \(ab=c^2\)=> \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)

                                                      => \(\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{c}{b}\right)^2\)

                                                       => \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\)   mà \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)

                                                     => \(\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}=\frac{a}{c}.\frac{c}{b}=\frac{a}{b}\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\\\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\\\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{ab}{cd}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)