a: Xét ΔBKC có

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của BK

Do đó:MN là đường trung bình

=>MN//KC và MN=1/2KC

b: Xét ΔANM có

K là trung điểm của AN

KI//NM

Do đó: I là trung điểm của AM

CM: a) Nối MP

Xét t/giác BMP và t/giác NPM

có: \(\widehat{P_1}=\widehat{M_1}\)(slt vì MN // BC)

 MP : chung

  \(\widehat{M_2}=\widehat{P_2}\) (slt vì NP // BM)

 => t/giác BMP = t/giác NPM (g.c.g)

=> BM = NP (2 cạnh t/ứng)

mà AM = BM (gt) 

=> AM = NP

b) Ta có: MN // BC => \(\widehat{M_3}=\widehat{B}\)(Đồng vị)

mà  \(\widehat{B}=\widehat{P_3}\)(đồng vị vì BM  // NP)

=> \(\widehat{M_3}=\widehat{P_3}\)

Xét t/giác AMN có: \(\widehat{A}+\widehat{M_3}+\widehat{N_1}=180^0\) (Tổng 3 góc 1 t/giác)

Xét t/giác NPC có: \(\widehat{P_3}+\widehat{N_2}+\widehat{C}=180^0\) (tổng 3 góc 1 t/giác)

mà \(\widehat{M_3}=\widehat{P_3}\) (cmt); \(\widehat{N_1}=\widehat{C}\) (đồng vị vì MN // BC)

=> \(\widehat{A}=\widehat{N_2}\)

Xét t/giác AMN và t/giác NPC

có: \(\widehat{A}=\widehat{N_2}\) (Cmt)

 AM = NP (cmt)

 \(\widehat{M_3}=\widehat{P_3}\) (cmt)

=> t/giác AMN = t/giác NPC (g.c.g)

=> AN = NC (2 cạnh t/ứng)

=> N là trung điểm của AC

a) Vì BH là đường cao của ΔABC nên BH ⊥ AC

Ta có: ME ⊥ AC ; BH ⊥ AC

=> ME // BH 

Vậy ME//BH

b) Ta có: ME // BH ; NP //BH 

=> ME // NP

Xét ΔABH có: AM = MB (vì M là trung điểm của AB)

ME // BH(chứng minh phần a)

=> E là trung điểm của AH

=> ME là đường trung bình của ΔABH

=> ME = 1/2 BH (1)

Xét ΔCHB có: NC = NB( vì N là trung điểm của cạnh BC)

NP // BH (giả thiết)

=> P là trung điểm của HC

=> PN là đường trung bình của ΔCBH

=> PN = 1/2 BH (2)

Từ (1) và (2)

=> PN = ME = 1/2 BH 

Vậy ME // NP; ME = NP