Xét \(\Delta MBD\)cân tại M có : 

\(\widehat{BDM}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta MBD\)là tam giác đều 

\(\Rightarrow\widehat{BDM}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BDA}=120^0\)

\(\Rightarrow\)Khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì M di chuyển trên cung tròn ( nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chưa điểm M ) nhìn AB một góc bằng \(120^0\)

Xét \(\Delta DBA\)và \(\Delta MBC\)có :
\(BA=BC\)( vì tam giác ABC đều )

\(\widehat{BAD}=\widehat{BCM}\)( cùng chắn cung BM )
\(\widehat{ABD}=\widehat{CBM}\left(=60^0-\widehat{DBC}\right)\)

Suy ra \(\Delta DBA=\Delta MBC\)

\(\Rightarrow MC=DA\)

\(\Rightarrow MA+MB+MC=MA+MD+DA=2MA\)

\(MA+MB+MC\)lớn nhất khi MA lớn nhất 

\(\Rightarrow AM\)là đường kính của \(\left(O\right)\)

\(\Rightarrow M\)là điểm chính giữa của cung BC

Chúc bạn học tốt !!!

tứ giác AIMK có

góc AIM = góc AKM = 90 độ

suy ra AIMK là tứ giác nội tiếp

1.\(\Delta OMH\perp H\) ( không đổi )

\(\Rightarrow\widehat{OMH}+\widehat{HOM}=90^o\)

Ta có: I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta OMH\)

\(\Rightarrow\widehat{OMI}=\widehat{HMI}=\dfrac{\widehat{OMH}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{MOI}=\widehat{HOI}=\dfrac{\widehat{MOH}}{2}\)

\(\Delta OIM\) có: \(\widehat{OIM}=180^o-\left(\widehat{OMI}+\widehat{MOI}\right)\)

                   \(\Leftrightarrow\) \(\widehat{OIM}=180^o-\left(\dfrac{\widehat{OMH}}{2}+\dfrac{\widehat{MOH}}{2}\right)\)

                     \(\Leftrightarrow\widehat{OIM}=180^o-\dfrac{90^o}{2}=135^o\)

Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OIM\), có:

\(OB=OM\left(=R\right)\)

\(\widehat{MOI}=\widehat{BOI}\) ( OI là tia phân giác \(\widehat{MOH}\) )

`OI`: chung

Vậy\(\Delta OIB\) = \(\Delta OIM\) ( c.g.c )

\(\Rightarrow\widehat{OIB}=\widehat{OIM}\) ( 2 góc tương ứng )

\(\Rightarrow\widehat{OIB}=135^o\) ( không đổi )

2. \(\Delta OMH\perp H\)

\(\Rightarrow S_{OMH}=\dfrac{1}{2}.OH.MH\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(\sqrt{OH^2.MH^2}\le\dfrac{OH^2+MH^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.OH.MH\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{OH^2+MH^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.OH.MH\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{OM^2}{4}\) ( pytago )

\(\Leftrightarrow S_{OMH}\le\dfrac{R^2}{4}\)

\(\rightarrow\)\(S_{OMH}\) lớn nhất là \(\dfrac{R^2}{4}\) không đổi

Dấu "=" xảy ra khi:

\(OH^2=MH^2\)

\(\Rightarrow OH=MH\)

\(\Rightarrow\Delta OMH\) vuông cân tại `H` \(\Rightarrow\widehat{MOH}=\widehat{OMH}=45^o=\widehat{MOC}\)

\(\Rightarrow\)`M` nằm giữa của \(\stackrel\frown{AB}\) thì \(S_{OMH}\) đạt GTNN là \(\dfrac{R^2}{4}\)

eyy bài không biết đăng lên đây hẽ?:"))

a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)

có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)

=>  \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)

b) Từ câu a)_

=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)

\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)

Dễ dàng chứng minh đc:

\(\Delta BDM~\Delta ADC\)

=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)

c) Lấy điểm E thuộc đoạn

1: góc ACB=1/2*180=90 độ

góc HKB+góc HCB=180 độ

=>CBKH nội tiếp

2: góc MCA=1/2*sđ cung MA

góc ACK=góc MBA=1/2*sđ cung MA

=>góc MCA=góc KCA

=>CA là phân giác của góc MCK