Bài 1. Trên mặt đồng hồ có 12 số từ 1 đến 12. Em hãy đặt dấu "+", dấu "-" trước các số để tổng đại số của các số ấy bằng 0.

Bài 2. Đố vui: Chứng minh 5 = 7.

             Lấy hai số dương tùy ý a, b sao cho 2a = 3b.      (1)

             Từ (1) suy ra 10a = 15b và 14a = 21b.

             Trừ hai đẳng thức này theo từng vế tương ứng ta được:

                                 14a - 10a = 21b - 15b.                   (2)

             Chuyển vế từ (2) ta được:

                                 15b - 10a = 21b - 14a.                     (3)

             Đặt thừa số chung ở mỗi vế của (3):

                                  5(3b - 2a) = 7(3b - 2a).                 (4)

             Chia hai vế của (4) cho (3b - 2a) ta được 5 = 7 (!).

             Em hãy giải thích tại sao lại có kết quả vô lí này!

Bài 3. Đố vui: Chứng minh: Mọi số đều bằng nhau.

         Giả sử a > b thế thì a - b = c (c > 0) hay a = b + c (1).

         Nhân hai vế của (1) với (a - b) ta được:

         a(a - b) = (a - b)(b + c)

         a² - ab = ab + ac - b² - bc

         a² - ab - ac = ab - b² - bc

         a(a - b - c) = b(a - b - c).    (2)

         Chia hai vế của đẳng thức (2) cho (a - b - c) ta được a = b(!).

         Đố em tìm được chỗ sai trong chứng minh trên.

Bài 1. Trên mặt đồng hồ có 12 số từ 1 đến 12. Em hãy đặt dấu "+", dấu "-" trước các số để tổng đại số của các số ấy bằng 0.

Bài 2. Đố vui: Chứng minh 5 = 7.

             Lấy hai số dương tùy ý a, b sao cho 2a = 3b.      (1)

             Từ (1) suy ra 10a = 15b và 14a = 21b.

             Trừ hai đẳng thức này theo từng vế tương ứng ta được:

                                 14a - 10a = 21b - 15b.                   (2)

             Chuyển vế từ (2) ta được:

                                 15b - 10a = 21b - 14a.                     (3)

             Đặt thừa số chung ở mỗi vế của (3):

                                  5(3b - 2a) = 7(3b - 2a).                 (4)

             Chia hai vế của (4) cho (3b - 2a) ta được 5 = 7 (!).

             Em hãy giải thích tại sao lại có kết quả vô lí này!

Bài 3. Đố vui: Chứng minh: Mọi số đều bằng nhau.

         Giả sử a > b thế thì a - b = c (c > 0) hay a = b + c (1).

         Nhân hai vế của (1) với (a - b) ta được:

         a(a - b) = (a - b)(b + c)

         a² - ab = ab + ac - b² - bc

         a² - ab - ac = ab - b² - bc

         a(a - b - c) = b(a - b - c).    (2)

         Chia hai vế của đẳng thức (2) cho (a - b - c) ta được a = b(!).

         Đố em tìm được chỗ sai trong chứng minh trên.

1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

2. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

4. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a b a b   

5. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

6. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

7. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

8. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

9. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của avà b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

10. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

11. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0