5x²+2y+y²-4x-40=0

△=(-4)²-4.5.(2y+y²-40)

△=16-40y-20y²+800

△=-(784+40y+20y²)

△=-(32y+8y+16y²+4y²+16+4+764)

△=-[(4y+4)²+(2y+2)²+764]<0

=>PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM.

Đừng dùng đạo hàm hay gì nhá

a) \(6xy+4x-9y-7=0\)

  \(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)

Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)

Tự làm típ

\(A=x^3+y^3+xy\)

\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

LOADING...

a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)

Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)

Câu 1:

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)

CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Bước 1: Nhân cả hai tầm nhìn của phương pháp với -1 để chuyển các hạng tử âm sang tầm nhìn bên phải của dấu bằng, ta được:

9y² - 3x² - 4z² - 6y²z² = -243

Bước 2: Tách biến và rút gọn chúng lại:

3x² - 9y² + 6y²z² = 4z² + 243

Bước 3: Áp dụng bổ đề Fermat để giải phương trình:

Ta có:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Áp dụng công thức trên, ta có:

(2z - 3y)² + 3x² = (13)²

Vì x, y, z là các nguyên dương nên ta có 2z - 3y > 0, do đó ta có:

2z - 3y = 13

Như vậy, ta có hệ thống phương tiện:

2z - 3y = 13
3x² = 169 - (2z - 3y)²

Bước 4: Giải hệ phương trình:

Với 2z - 3y = 13, ta có thể giải được y và z theo x:

y = (2z - 13)/3

z = (3y + 13)/2

Thay vào phương trình 3x² = 169 - (2z - 3y)², ta được:

3x² = 169 - (2((3y + 13)/2) - 3y)² = 169 - 49y²

Từ đó, ta có:

y² = (169 - 3x²)/49

y là số nguyên dương, do đó chỉ có một số giá trị của x có thể làm cho y là số nguyên, đó là khi 169 - 3x² chia hết cho 49. Ta có:

3x² = 169 - 49k (với k là một số nguyên)

x² + 16k/3 = 169/3

Vì x là một số nguyên dương, nên 169/3 - 16k/3 phải là một số chính phương. Kiểm tra và tìm được:

169/3 - 16k/3 = 64

k = 15

Thay k = 15 vào phương trình 3x² = 169 - 49k, ta được:

x² = 64

x = 8

Bước 5: Kết luận:

Do đó các bộ số nguyên dương đối với phương trình là: (x, y, z) = (8, 1, 5) hoặc (x, y, z) = (8, 1, -6).

Do \(243\) ; \(3x^2-9y^2+6y^2z^2\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow4z^2\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow z\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow z=3z_1\) với \(z_1\) nguyên dương

\(\Rightarrow3x^2-9y^2+36z^2_1+54y^2z_1^2=243\)

\(\Rightarrow x^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)

Lý luận tương tự ta được \(x=3x_1\) với \(x_1\) nguyên dương

\(\Rightarrow9x_1^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)

\(\Rightarrow3x_1^2-y^2+4z_1^2+6y^2z_1^2=27\) (1)

\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)=27\)

Do \(x_1;z_1\) nguyên dương \(\Rightarrow x_1;z_1\ge1\)

\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)\ge3+4+5y^2=7+5y^2\)

\(\Rightarrow7+5y^2\le27\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow y\le2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

- Với \(y=1\) thế vào (1) 

\(\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2=28\)

Nếu \(z_1\ge2\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2>28\) (ktm) \(\Rightarrow z_1=1\Rightarrow3x_1^2=18\) ko tồn tại \(x_1\) nguyên thỏa mãn

- Với \(y=2\) thế vào (1) \(\Rightarrow3x_1^2+28z_1^2=31\Rightarrow x_1=z_1=1\) 

\(\Rightarrow x=z=3\)

Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn là \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;3\right)\)

2x² + 3y² = 5xy

=> 2x² + 3y² - 5xy = 0

=> 2 ( x² - 2xy + y² )  - xy + y² = 0

=> 2 ( x - y ) ² - y ( x - y ) = 0

=> ( x - y )[ 2( x - y ) - y ] = 0

=> ( x- y ) ( 2x - 2y - y ) = 0

=> ( x - y ) ( 2x - 3y ) = 0

TH1 : x - y = 0

=> x = y 

Thay x = y vào \(\frac{x+2y}{3x-y}\)

=> \(\frac{x+2y}{3x-y}=\frac{y+2y}{3y-y}\)\(=\frac{3y}{2y}=\frac{3}{2}\)

TH2 : 2x - 3y = 0

=> 2x = 3y

=> \(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\)

=> x = \(\frac{3}{2}.y\)

Thay x = \(\frac{3}{2}.y\)vào \(\frac{x+2y}{3x-y}\)

=> \(\frac{x+2y}{3x-y}=\frac{\frac{3}{2}.y+2y}{3.\frac{3}{2}y-y}\)\(=\frac{\frac{7}{2}.y}{\frac{7}{2}.y}=1\)