tìm x,y,z bằng pp "kẹp" 2 (x+y+z)+9=3xyz
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn
a) xyz = 4( x + y + z )
b) 2( x + y + z ) +9 = 3xyz
a) Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ko mất tính tổng quát, giả sử x≤y≤zx≤y≤z
⇒⇒ 3z ≥≥ xyz
⇒⇒ 3 ≥≥ xy
Vì xy nguyên dương nên xy = 1 hoặc xy = 2
+ Nếu xy = 1 thì x + y + z = z ⇒⇒ x + y = 0, loại vì x, y nguyên dương
+ Nếu xy = 2 thì x + y + z = 2z ⇒⇒ x + y = z. Do xy = 2 và x ≤≤ y nên x = 1, y = 2, do đó y = 3.
Vậy...
b, xyz = 9 + x + y + z
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có:
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3
*z = 1:
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm)
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1)
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên)
* z = 2
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y
=> y ≤ 5/2 => y = 2
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên)
* z =3:
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên)
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên)
Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.
chúc bạn hok tốt
a) Vì vai trò của x,y,z như nhau nên có thể giả sử \(x\ge y\ge z\)
Khi đó : \(xyz=4\left(x+y+z\right)\le12x\Rightarrow yz\le12\)
=> \(z^2\le12\Rightarrow z^2\in\left\{1;4;9\right\}\Rightarrow z\in\left\{1;2;3\right\}\)
+) Trường hợp 1 :
z = 1 thì xy = 4(x + y + 1) <=> (x - 4)(y - 4) = 20
Nên x - 4 và y - 4 là ước của 20 với \(x-4\ge y-4\ge-3\)(do \(x\ge y\ge z=1\))
x - 4 | 20 | 10 | 5 | 4 | 2 | 1 |
y - 4 | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 | 20 |
x | 24 | 14 | 9 | 8 | 6 | 5 |
y | 5 | 6 | 8 | 9 | 14 | 24 |
Vậy ta được cặp (x;y) là \(\left(24;5\right);\left(14;6\right);\left(9;8\right)\)
Xét tiếp trường hợp z = 2,z = 3 nữa nhé
b) Tương tự
Cho x,y,z>0 và x+y+z=3xyz . Tìm MaxP = \(\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{3}{z^2}\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\)
\(P=3a^2+b^2+3c^2\)
Biểu thức này chỉ có min, không có max
Tìm các số nguyên dương x;y;z biết rằng.x^3-y^3-z^3=3xyz va x^2=2(y+z)
tìm x nguyên dương biết
a) x+y+1=xyzb) 2(x+y+z)+9=3xyzphân tích thành nhân tử
\(A=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y, z) của phương trình
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(z-x\right)^2\)
thỏa mãn điều kiện
\(max\left(x,y,z\right)< x+y+z-max\left(x,y,z\right)\)
Rút gọn
a)A= 2x^3 – 7x^2 – 12x + 45
3x^3 – 19x^2 + 33x -9
b) B= x^3 – y^3 + z^3 + 3xyz
( x + y)^2+ (y+z)^2+ (z- x)^2
c) C= x^3 + y^3 +z^3 - 3xyz
(x – y) ^2 +( y- z) ^2 +( z- x )^2
Tìm x, y, z biết:
\(x^3+y^3+3xyz=z^3=\left(2x+2y\right)^2\)với x, y, z thuộc Z
Tìm x, y, z sao cho x+ y+ z = 3xyz.
Đề bài phải là tìm x,y,z nguyên nhé!
Nhận xét: x=0, thì y=-z là nghiệm của pt
vây nghiệm (\(\left(x,y,z\right)=\left(0,y_0,-y_0\right)\)và các hoán vị của nó
Nếu \(x\ne0\Rightarrow y,z\ne0\)
Xét \(x^2+y^2+z^2\ne0\)
pt <=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)
Đặt: xy=a,yz=b,zx=c
Vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử a\(\ge\)b\(\ge\)c
Khi đó: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{c}\Leftrightarrow3\le\frac{3}{c}\Leftrightarrow c\le1\Leftrightarrow c=1\)
Thay vào pt: ta được: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Lại có: \(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\Leftrightarrow b\le1\Rightarrow b=1\)
Vậy a=b=c=1
hay xy=yz=zx=1
Vậy ta có các nghiệm nguyên sau tm: \(\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\)
Vậy pt có nghiệm là:
\(\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\)
hoặc: \(\left(x,y,z\right)=\left(0,y_0,-y_0\right),y_0\in Z\)và các hoán vị của chúng
Cho x,y,z>0 và \(x+y+z\le\dfrac{3}{4}\). Tìm Min A = \(\Sigma\dfrac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}\)
Cho x,y,z> 0 và xy+yz+xz = 3xyz . Tìm MaxP = \(\Sigma\dfrac{yz}{x^3\left(z+2y\right)}\)