???????????????????

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

giả thiết m và n nguyên tố cùng nhau

nên ƯCLN(m;n)=1

Mà m^2chia hết cho n

Và n^2 chia hết cho m 

m,n nguyên dương lẻ

nên m=n=1

Do đó m^2+n^2+2=4

4.m.n=4

Vậy ta được đpcm

má mới học lớp 4 sao má bít được

Lời giải :

Ta thấy:

\(\left\{\begin{matrix} m^2+2\vdots n\\ n^2+2\vdots m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow (m^2+2)(n^2+2)\vdots mn\)

\(\Leftrightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4\vdots mn\)

\(\Rightarrow 2m^2+2n^2+4\vdots mn\)

\(\Leftrightarrow 2(m^2+n^2+2)\vdots mn\)

Vì $m,n$ đều lẻ nên \((2,mn)=1\Rightarrow m^2+n^2+2\vdots mn(*)\)

Mặt khác:

Một số chính phương thì chia $4$ dư $0,1$. Vì $m,n$ lẻ nên \(m^2\equiv n^2\equiv 1\pmod 4\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2\equiv 4\equiv 0\pmod 4\) hay \(m^2+n^2+2\vdots 4(**)\)

Từ \((*);(**)\) mà \((4,mn)=1\) nên \(m^2+n^2+2\vdots 4mn\)

Ta có đpcm.

Ta thấy:

⎧⎩⎨m2+2⋮nn2+2⋮m{m2+2⋮nn2+2⋮m ⇒(m2+2)(n2+2)⋮mn⇒(m2+2)(n2+2)⋮mn

⇔m2n2+2m2+2n2+4⋮mn⇔m2n2+2m2+2n2+4⋮mn

⇒2m2+2n2+4⋮mn⇒2m2+2n2+4⋮mn

⇔2(m2+n2+2)⋮mn⇔2(m2+n2+2)⋮mn

Vì m,nm,n đều lẻ nên (2,mn)=1⇒m2+n2+2⋮mn(∗)(2,mn)=1⇒m2+n2+2⋮mn(∗)

Mặt khác:

Một số chính phương thì chia 44 dư 0,10,1. Vì m,nm,n lẻ nên m2≡n2≡1(mod4)m2≡n2≡1(mod4)

⇒m2+n2+2≡4≡0(mod4)⇒m2+n2+2≡4≡0(mod4) hay m2+n2+2⋮4(∗∗)m2+n2+2⋮4(∗∗)

Từ (∗);(∗∗)(∗);(∗∗) mà (4,mn)=1(4,mn)=1 nên m2+n2+2⋮4mnm2+n2+2⋮4mn

đúng thì tick nhé

Bài này dễ mà bn

Ta có: \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\Rightarrow m^2n^2+2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)

Dễ có \(m^2n^2⋮mn\)nên \(2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)

Mà m,n lẻ nên mn lẻ hay \(\left(mn,2\right)=1\)suy ra \(m^2+n^2+2⋮mn\)(*)

Ta có đánh giá rằng số chính phương lẻ thì chia 4 dư 1 (Thật vậy xét các trường hợp 4k + 1 và 4k + 3)

\(\Rightarrow\)m², n² chia 4 dư 1 \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(m^2+n^2+2⋮4mn\)(Do \(\left(mn,4\right)=1\))

c,  Ap dung cong thuc sau  

Dien h tam giac deu canh a = \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (bn tu chung minh )

sau do tinh canh tam giac ABC theo R se duoc \(AB=\frac{\sqrt{3}}{2}R\) thay vao cong thuc tren la ra 

d, ban tu ve hinh nha

Ta co tu giac CHMF,MHIB noi tiep 

nen suy ra \(\widehat{CHF}=\widehat{CMF},\widehat{BHI}=\widehat{BMI}\) (1)

ma \(\widehat{MCF}=\widehat{MBI}\) (tu giac ABMC noi tiep) 

=> \(\widehat{CMF}=\widehat{BMI}\) phu 2 goc bang nhau (2)

tu (1),(2) => \(\widehat{CHF}=\widehat{BHI}\) => H,I,F thang hang

khó thế =((((

cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O,R ) .Trên cung nhỏ BC lấy M .Trên tia MA lấy D saop cho MD=MC 

a) tính MDC

B) CM BM=AD

c) tính S của hình giới hạn bởi các cạnh của tam giác và đường tròn (O) theo R

d) từ M hạ MI ,MH ,MF vuông góc với AB BC CA .CM H,I,F thẳng hàng

a, x²+5y²+2y-4xy-3=0

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Nếu \(y< -3\Rightarrow y+1< -2\Rightarrow\left(y+1\right)^2>4\Rightarrow VT>VP\)(vô lí)

\(\Rightarrow y\ge-3\Rightarrow y_{min}=-3\)

lúc đó \(\left(x+6\right)^2+4=4\Rightarrow x=-6\)

Vậy.................

a) \(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Ta thấy : \(4=0+4\) là tổng hai số chính phương

Thử các giá trị \(\orbr{\begin{cases}\left(y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{cases}}\)

Ta thấy : \(y=-3\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó : \(x^2+5.\left(-3\right)^2+2\left(-3\right)-4x\left(-3\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=-6\)

Vậy : \(\left(x,y\right)=\left(-6,-3\right)\) với y nhỏ nhất thỏa mãn đề.

P/s : Không chắc lắm ....

b, Ta có \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮mn\)(1)

Vì m,n lẻ nên \(\hept{\begin{cases}m^2\equiv1\left(mod4\right)\\n^2\equiv1\left(mod4\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(m^2+n^2+2⋮4mn\)

m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3

Gợi ý tìm x,y rồi thay vào tìm ra m (dễ lắm giải hệ là ra x,y liền)

\(m=\frac{3}{5}\)

m = 3 /5 nha bn