Question

Cho 2 số nguyên dương lẻ m,n nguyên tố cùng nhau và  \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\) 

CMR: \(m^2+n^2+2⋮4mn\)

Answer 1

Ta có : \(m;n\)là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(\RightarrowƯCLN(m;n)=1\)

Mà \(m^2⋮n\)

      \(n^2⋮m\)

Và có : \(m;n\)là hai số lẻ nguyên dương

\(\Rightarrow m=m=1\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2=4\)

\(\Rightarrow4m.n=4\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\left(đpcm\right)\)

Answer 2

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2n^2+2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow2m^2+2n^2+4⋮mn\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮mn\left(1\right)\)

Vì m, n lẻ 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2\equiv1\left(mod4\right)\\n^2\equiv1\left(mod4\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4mn\)