a: góc OBI+góc OCI=180 độ

=>OCIB nội tiếp

b: Xét (O) có

IB,IC là tiếp tuyến

=>IB=IC

mà OB=OC

nên OI là trung trực của BC

=>M là trung điểm của BC

Xét ΔOBI vuôngtại B có BM vuông góc OI

nên BM^2=MI*MO

=>BC^2=4*MI*MO

c: góc BMI+góc BDI=180 độ

=>BMID nội tiếp

=>góc MDI=góc MBI=góc MCI

góc IMC+góc IEC=180 độ

=>IMCE nội tiếp

=>góc MCI=góc MEI

=>góc MDI=góc MEI

ΔMCI vuông tại M nên góc MIC+góc MCI=90 độ

góc MCI=góc BAC

=>góc BAC+góc MEC=góc MCI+góc MIC=90 độ

=>ME vuông góc AB

=>ME//ID

=>IEMD là hình bình hành

=>D,G,E thẳng hàng

a: góc AMB=góc AHB=90 độ

=>AMHB nội tiếp

b:góc AFD=góc ADC=góc ABC

Xét ΔABC và ΔAFD có

góc AFD=góc ABC

góc A chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔAFD

=>AB/AF=AC/AD

=>AB*AD=AF*AC

1) Ta có: \(\angle AEB+\angle ADB=90+90=180\Rightarrow AEBD\) nội tiếp

2) Tương tự ta chứng minh được: \(ADCF\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle ADF=\angle ACF=\angle ABC\)

3) Ta có: \(\angle AED=\angle ABC=\angle ADF\)

Tương tự \(\Rightarrow\angle ADE=\angle AFD\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta AFD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADE=\angle AFD\\\angle AED=\angle ADF\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta AFD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow AD^2=AE.AF\)

4) \(\Delta ADE\sim\Delta AFD\Rightarrow\angle DAE=\angle DAF\)

\(\Rightarrow AD\) là phân giác \(\angle EAF\)

Vì M,N là trung điểm AE,AF \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{1}{2}AE\\AN=\dfrac{1}{2}AF\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(AD=AM+AN\Rightarrow AD^2=\left(AM+AN\right)^2\)

\(\Rightarrow AE.AF=\dfrac{1}{4}\left(AE+AF\right)^2\Rightarrow4AE.AF=\left(AE+AF\right)^2\)

mà \(\left(AE+AF\right)^2\ge4AE.AF\) (BĐT Cô-si) 

\(\Rightarrow AE=AF\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A có \(AD\) là phân giác \(\angle EAF\)

\(\Rightarrow AD\) là trung trực \(EF\Rightarrow AD\bot EF\) mà \(AD\bot BC\)

\(\Rightarrow BC\parallel EF\) 

Ta có: \(\angle EBC=\angle EBA+\angle ABC=\angle ACB+\angle ACF=\angle FCB\)

\(\Rightarrow BCFE\) là hình thang cân có \(AD\) là trung trực EF

\(\Rightarrow AD\) là trung trực BC mà \(O\in\) trung trực BC

\(\Rightarrow A,O,D\) thẳng hàng

a: góc OBE+góc OCE=180 độ

=>OBEC nội tiếp

b: Xét ΔEBD và ΔEAB có

góc EBD=góc EAB

góc BED chung

=>ΔEBD đồng dạng với ΔEAB

=>EB/EA=ED/EB

=>EB^2=EA*ED

a) Xét tứ giác OCDB có 

\(\widehat{OBD}+\widehat{OBC}=180^0\)

Do đó: OCDB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Xét tứ giác AHBI có 

\(\widehat{AHB}\) và \(\widehat{AIB}\) là hai góc đối

\(\widehat{AHB}+\widehat{AIB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AHBI là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay A,H,B,I cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)

b) Xét đường tròn (O; R) có \(\widehat{ABI}=\widehat{ACB}\) (cùng chắc cung AB)

=> \(\widehat{ABI}=\widehat{ACH}\)

Xét ΔABI và ΔACH có: \(\widehat{AIB}=\widehat{AHC}\) (=90^o)

                                      \(\widehat{ABI}=\widehat{ACH}\) (cmt)

=> ΔABI ~ ΔACH (g.g) => \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AI}{AH}\)=> AI.AC = AH.AB

c) CMTT câu b => ΔABH ~ ΔACK (g.g) => \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AH}{AK}\)

=> \(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AH}{AK}\left(=\dfrac{AB}{AC}\right)\) => AH² = AI.AK

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

b: AEHF nội tiếp

=>góc AEF=góc AHF=góc ACH

=>góc FEB+góc FCB=180 độ

=>BEFC nội tiếp

Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

=>góc xAC=góc ABC=góc AFE

=>FE//Ax

=>AD vuông góc FE