Chia hai ve cho cua bat dang thuc abc<ab+bc+ca cho abc ta duoc 1<\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)(3)

Vi a,b,c la SNT \(\Rightarrow a;b;c\ge2\)(1)

Gia su a>b>c . Trong ba phan so \(\frac{1}{c};\frac{1}{a};\frac{1}{b}\)thi \(\frac{1}{c}\)la phan so lon nhat nen \(\frac{1}{c}>\frac{1}{3}\) hay c<3(2)

Tu (1) va (2) suy ra c=2

Thay c=2 vao (3) ta duoc \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\frac{1}{2}\)(4)

Trong hai phan so \(\frac{1}{a};\frac{1}{b}\),phan so \(\frac{1}{b}\) lon hon nen \(\frac{1}{b}>\frac{1}{2}:2=\frac{1}{4}\Rightarrow b<4\) ma b>c=2 vay b=3

Thay b=3 vao (4) ta duoc \(\frac{1}{a}>\frac{1}{6}\) .Do do a<6 ma a>b=3 va a la so nguyen to vay a=5

Vay cap so a;b;c thoa mam la:(2;3;5);(2;5;3);(3;5;2);(3;2;5);(5;3;2);(5;2;3)

khong co so nao thoa man

cái này viết tóm tắt thôi

ta co:abc<ab+bc+ca

suy ra 89a<cb

 Vi 9<cb<100 suy ra 9<89<100 suy ra a=1

mà 1 không là số nguyên tố suy ra không có số a;b;c thỏa mãn

Giả sử 2≤b≤a<c có a(a+1)=c(c+1)−b(b+1)=(c−b)(c+b+1)      (1)

Do a+1<c+b+1 từ (1)⇒c−b<a⇒c<a+b⇒c+b+1<a+2b+1⇒c+b+1<3a+1

c>a⇒c+b+1=2a hoặc c+b+1=3a

Vì a,b,c là các số nguyên tố , c>a⇒c lẻ ta có 2 trường hợp

TH1: c+b+1=2a; Do c+1 và 2a là số chẵn thì b là số nguyên tố chẵn nên b chẵn nên b=2

  Từ đó tìm ra 3a=11 (loại)

TH2: c+b+1=3a thay vào (1) có a+1=3(c−b) mà c=3a−b−1⇒a+1=3(3a−2b−1)⇒3b=4a−2⇒b chẵn ⇒b=2⇒a=2⇒c=3

Không mất tính tổng quát ta giả sử

\(a\ge b\ge b\ge d\)

\(\Rightarrow\frac{1}{abcd}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{4}{a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{bcd}\ge4\)

\(\Leftrightarrow bcd\le\frac{1}{4}\)

Vậy phương trình vô nghiệm.