nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình ,chia cả 2 vế của phương trình cho x² ta được:

\(x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b=0\)

đặt \(m=x+\frac{1}{x}\),phương trình trở thành \(m^2-2+am+b=0\Leftrightarrow m^2-2=-am-b\Leftrightarrow\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\)

Áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky :\(\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\le\left(m^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(m^2-2\right)^2}{m^2+1}=\frac{m^4-4m^2+4}{m^2+1}=m^2-5+\frac{9}{m^2+1}\)

\(=m^2+1+\frac{25}{m^2+1}-\frac{16}{m^2+1}-6\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(m^2+1+\frac{25}{m^2+1}\ge10\)

\(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{m^2+1}\)

lại có \(m^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)(AM-GM)

nên \(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}\) 

đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-\frac{4}{5}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}}\)

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

ai tick đến 190 thì mik tick cho cả đời

ai tick đến 190 thì mik tick cho cả đời

noicho dang hoang

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web

Ko thì ko lời giải

\(------------\)

Sai đề hử?