Tự vẽ hình lấy chứ hình nó khó vẽ trên này lắm thông cảm 

 a) P và Q là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác đồng dạng AHB và CHA nên

\(\frac{HP}{HQ}=\frac{AB}{AC}\)nên \(\Delta HPQ~\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)

b) Từ câu a suy ra \(\widehat{HPQ}=\widehat{C}\)mà \(\widehat{C}=\widehat{A_1}\)

Nên \(\widehat{HPQ}=\widehat{A_1}\)( 1 )

Tứ giác HPKQ có \(\widehat{PHQ}=\widehat{PKQ}=90^o\)nên là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat{HPQ}=\widehat{HKP}\)( 2 )

Từ (1) VÀ (2) suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{HKP}\)do đó KP // AB. Chứng minh tương tự, KQ // AC.

c) Ta có : \(\widehat{C}=\widehat{HKP}=\widehat{MKP}\)tự chứng minh \(\widehat{MKP}=\widehat{M_1}\)(sử dụng kết quả ở câu b).

d) Ta có : \(\widehat{A_1}=\widehat{M_1}\left(=\widehat{C}\right)\)nên KM = KA. Tương tự KP =KA. Do đó năm điểm A, M, P, Q, N thuộc đường tròn (K; KA).

e) Từ câu a suy ra \(\widehat{HQP}=\widehat{C}\)nên HQEC là tứ giác nội tiếp, do đó \(\widehat{QEA}=\widehat{QHC}=45^o\)

Tam giác ADE có : \(\widehat{E}=45^o\)

\(\Rightarrow\) ADE là tam giác vuông cân.

à câu cuối còn một cách nữa :)

Chứng minh \(BP\perp AQ\)tương tự ta cũng chứng minh \(CQ\perp AP\)

\(\Rightarrow\)\(AO\perp PQ\)(O là giao điểm của BP và CQ). Tam giác ADE có AO là tia phân giác góc A và \(AO\perp DE\)

\(\Rightarrow\)Tam giác AED vuông cân ( đpcm )

Hình tự vẽ 

Xét tam giác HPB và HQC

góc B=C, HB=HC, BHP=CHQ

=> PB=QC

=>AP=AQ=> tam giác APQ vuông cân tại A

a)\(\Delta AEC\)có góc ngoài là AEB=góc KAC+ góc ACE

Mà góc BAE = góc KAH; góc ACB = góc BAH => góc AEB = góc BAE

\(\Rightarrow\Delta ABE\)cân ở B và có BJ là phân giác

=>BJ vuông góc với AE

Tương tự có CJ vuông góc AD => AI vuông góc JK (I là trực tâm \(\Delta AJK\))

b)Dùng tính chất các phân giác ta có: góc BAI= góc \(\frac{BAC}{2}=\)\(\frac{\text{(góc B+góc C)}}{2}\)

=>Góc EAI=\(\frac{\text{(góc B+góc C)}}{2}\text{-góc EAI}\)\(\frac{\text{(góc B+góc C)}}{2}\text{- góc C}=\frac{\text{góc B}}{2}\)

Nhưng ta lại có góc EAI=JAI=EKJ (Cùng phụ góc AJK)

=>Góc EKJ= góc JBC(= góc B/2)

Lại có góc EKJ+góc JKC=180 độ (kề bù)

=>góc JBC+góc JKC=180 độ nên tứ giác BJKC nội típ