lai hoi bo kien thuc rong ak

Ta có:

\(\left(x-\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)=2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2-2xy-1=0\)

Giải ra tìm được xy thế vô pt sau giải tiếp

\(\hept{\begin{cases}y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\left(1\right)\\4xy^3+y^2+\frac{1}{2}\ge2x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(VP\left(1\right)=\sqrt{\frac{1}{4}-\left(xy-\frac{1}{2}\right)^2}\le\frac{1}{2}\Rightarrow VT\left(1\right)=y^6+y^3+2x^2\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^3+4x^2\le1\left(3\right)\)

Từ (2)(3) => \(8xy^3+2y^3+2\ge2y^6+4x^2+4x^2+2\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow8xy^3+2\ge2y^6+8x^2+2\sqrt{2+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow4xy^3+1\ge y^6+4x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\ge y^6-4xy^3+4x^2=\left(y^3-2x\right)^2\left(4\right)\)

\(VT\left(4\right)\le0;VP\left(4\right)\ge0\). Do đó:

(4) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=2x\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=y\end{cases}}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{2}\\y=-1\end{cases}}\)

Thử lại chỉ có \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)

cho mk hỏi ai chs lazi điểm danh cái đê ~ mk hỏi thật đấy k đùa nha ~ bình luận thì mk k cho 3 cái ~

NT: x=0; y=0 là nghiệm của hpt trên

+) Với x, y khác 0, ta chia 2 vế 2 pt của hpt cho x^2y^2, được:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(2+\frac{2}{xy}\right)=8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2-\left(\frac{2}{xy}+2\right)=0\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(2+\frac{2}{xy}\right)=8\end{cases}}\)

Đặt : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=a;2+\frac{2}{xy}=b\)

Ta thu được:

\(\hept{\begin{cases}ab=8\\a^2-b=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=2\\b=4\end{cases}}\)

Theo cách đặt:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\2+\frac{2}{xy}=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

+) Xét x = y = 0 thì thay vào hệ ta thấy thỏa mãn

Nhận thấy nếu \(x\ne0\)thì \(y\ne0\)và ngược lại

+) Xét \(x\ne0;y\ne0\)hệ phương trình tương đương với: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2\left(1\right)\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(2+\frac{2}{xy}\right)=8\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (1) và (2), ta được: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3=8\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\\frac{1}{xy}=1\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)

Vậy hệ có tập nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(1;1\right)\right\}\)