cho 2 số dương x: y. chứng minh rằng \(\left(x+\frac{2}{y}\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)\ge8\)
Câu 1: Cho x,y là các số thực dương thõa mãn xy=1. Chứng minh rằng: \(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\ge8\)
Câu hỏi của Tuấn Anh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho x,y,z là số dương .Chứng minh rằng a)\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge8\)
- Áp dụng BĐT cauchuy ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}\\y+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}}\\z+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{x}}\end{matrix}\right.\)
- Nhân 3 vế trên lại ta được :
\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}\)
Mà \(2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}=8\sqrt{\frac{x.y.z}{y.z.x}}=8.1=8\)
=> \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge8\) ( đpcm )
cho x,y>0 thõa mãn x+y=2 . Chứng minh rằng :
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge8\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)
CMTT \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\left(dpcm\right)\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
bđt AM-GM là j ?
๛Ŧɦượйǥ❖Ŧą๓❖Ąкąʑąツ
có thể gọi là Cô si đó
(Croatia 2004) Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Động não tí đi Quỳnh, a thấy bài này cũng không khó.
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
cho x, y là các số thực thỏa mãn x khác y , xy=1. chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
cho các số thực dương x,y,z. chứng minh rằng:
\(\frac{xy^2\left(x+z\right)}{x+y}+\frac{yz^2\left(z+x\right)}{y+z}+\frac{zx^2\left(x+y\right)}{z+x}\ge3xyz\)
HD: áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số hạng trên, khi đó trong căn sẽ triệt tiêu các tổng suy ra đpcm
Cho \(x+y=2\)
Chứng minh rằng \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge8\)
bài này dễ mà
bạn bỏ ngoặc ra nó ntn này
(x+1/x)^2+(y+1/y)^2=x^2+2+1/x^2+y^2+2+1/y^2=x^2+1/x^2+y^2+1/y^2+4(bạn chứng minh x^2+1/x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 2 như sau x^2+1/x^2-2=x^4+1-2x^2/x^2=(x^2+1)^2/X^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vậy x^2+1/x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 2 chứng minh tương tự với y^2+1/y^2 nha bạn) vậy suy ra ĐPCM
Cho x,y là các số dương và xy=1, chứng minh rằng :\(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{4}{x+y}\ge8\)
cho x và y là các số thực >1 chứng minh: \(\frac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)