Câu a

Xét tam giác ABD và AMD có

AB = AM từ gt

Góc BAD = MAD vì AD phân giác BAM

AD chung

=> 2 tam guacs bằng nhau

Câu b

Ta có: Góc EMD bằng CMD vì góc ABD bằng AMD

Bd = bm vì 2 tam giác ở câu a bằng nhau

Góc BDE bằng MDC đối đỉnh

=> 2 tam giác bằng nhau

Câu 4: 

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔAED vuông tại E có

AD chung

góc BAD=góc EAD

Do đó: ΔBAD=ΔEAD
b: Ta có: AB=AE

DB=DE

Do đó: AD là đường trung trực của BE

c: Xét ΔBDF vuông tại B và ΔEDC vuông tại E có

DB=DE

góc BDF=góc EDC

Do đó: ΔBDF=ΔEDC

Suy ra: BF=EC

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có 

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\)(AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔACK(g-g)

c) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{BD}{20}=\dfrac{CD}{25}\)

mà BD+CD=BC=30cm(D nằm giữa B và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{20}=\dfrac{CD}{25}=\dfrac{BD+CD}{20+25}=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BD}{20}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{CD}{25}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{40}{3}\left(cm\right)\\CD=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(BD=\dfrac{40}{3}cm;CD=\dfrac{50}{3}cm\)

Trên tia đối của tia AC kẻ tia Ax.

Do đó AD là phân giác ngoài của \(\widehat{BAx}\).

Trên tia đối của tia AD lấy tia Ay. Lấy điểm F thuộc ia Ay sao cho \(\widehat{DCF}=\widehat{DAB}\)hay \(\widehat{DCF}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FCD\)có:

\(\widehat{A_2}=\widehat{DCF}\)(hình vẽ trên).

\(\widehat{CDF}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FCD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(2 góc tương ứng).

Và \(\frac{BD}{FD}=\frac{AD}{CD}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow BD.CD=FD.AD\left(1\right)\)

Ta lại có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)(vì AD là phân giác của \(\widehat{BAx}\)).

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\)(vì đối đỉnh).

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\left(=\widehat{A_1}\right)\)

Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FAC\)có:

\(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(chứng minh trên).

\(\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\)(chứng minh trên).

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AF}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AD.AF=AB.AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).

\(\Rightarrow FD.AD-AD.AF=BD.CD-AB.AC\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD\left(FD-AF\right)\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD.AD\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD^2\)(điều phải chứng minh).

Bài 1: 

Vẽ \(IH\) là tia phân giác của \(\widehat{AIC}\)

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{C}=180^0-\widehat{B}=180^0-60^0=120^0\)

Ta có: \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\left(1\right)\)

Và: \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat{C}\left(2\right)\) 

Từ   \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Lại có: \(\widehat{EIA}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=60^0=\widehat{AIH}\)

Xét \(\Delta EAI\) và \(\Delta HAI\) có:

\(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\left(AD-là-tia-p.giác-của\widehat{A}\right)\)

\(\widehat{AIE}=\widehat{AIH}\left(cmt\right)\)

\(AI\) chung

\(\Rightarrow\Delta AIE=\Delta AIH\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow IE=IH\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự \(\Delta CHI=\Delta CDI\left(g-c-g\right)\Rightarrow ID=IH\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow IE=ID\)

\(\Rightarrow\Delta IDE\) cân tại \(I\left(đpcm\right)\)

2.

Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BD => \(\Delta\)DBE cân tại B (1)

=> BD = BE 

Ta có: BD là phân giác ^ABC  => ^DBE = 40\(^{^o}\): 2 = 20\(^o\)(2)

(1) ; (2) => ^BDE = ^DED = ( 180\(^o\)- 20\(^o\)) : 2 = 80\(^o\)

=> ^DEC = 180\(^o\)- 80\(^o\)=100\(^o\)

Xét \(\Delta\)DEC có: ^EDC = 180\(^o\)- ^DEC - ^DCE = 180\(^o\)-100\(^o\)-40\(^o\)=40\(^o\)

=> \(\Delta\)DEC cân tại E => DE = EC (3)

Từ D kẻ vuông góc với BC tại H và BA tại K.

D thuộc đường phân giác ^ABC  ( theo t/c đường phân giác ) => DK = DH 

Vì ^BAC = ^DEC = 100\(^o\)=> ^KAD = ^HED 

=> \(\Delta\)KAD = \(\Delta\)HED ( cạnh góc vuông - góc nhọn )

=> DA = DE (4)

Từ (3) ; (4) => DA = EC 

Vậy BC = BE + EC = BD + AD