\(\frac{a+n}{b+n}=\frac{b\left(a+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+bn}{b^2+bn}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b^2+bn}\)

2 phân thức cùng mẫu, ta so sánh tử số 

+) TH1 : a > b => an > bn

=> \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)

+) TH2 : a < b => an < bn

=> \(\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\)

+) TH3 : a = b => an = bn

=> \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\)

Ta co: (a+n).b=a.b+n.b

(b+n).a=b.a+n.a

Xet tuong hop:

Th1: a>b

Voi a>b thi a.b+n.b<b.a+n.a 

​​a+n/b+n<a/b

Th2:b>a

Voi b>a thi a.b+b.a>b.a+n.a

a+n/b+n>a/b

Xét \(\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=\frac{b\left(a+n\right)-a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+bn-ab-an}{b\left(b+n\right)}\)

                                                                               \(=\frac{bn-an}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{n}{b\left(b+n\right)}.\left(b-a\right)\)

Nếu \(a\ge b\Rightarrow b-a\le0\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}\le0\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}\le\frac{a}{b}\)

Nếu \(a\le b\Rightarrow b-a\ge0\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}\ge0\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}\ge\frac{a}{b}\)

Vậy xảy ra 2 trường hợp:

\(\frac{a+n}{b+n}\le\frac{a}{b}\) (nếu \(a\ge b\) )

\(\frac{a+n}{b+n}\ge\frac{a}{b}\) (nếu \(a\le b\) )

\(a,b,n\in N\)*.So sánh \(\frac{a+n}{b+n}\)và\(\frac{a}{b}\)

* Nếu a<b

Ta có: \(\left(a+n\right)b=ab+bn\\ \left(b+n\right)a=ab+an\)

\(\Rightarrow\left(a+n\right)b>\left(b+n\right)a\)

\(\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

*Nếu a>b

\(\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

Ta so sánh \(\frac{a+n}{b+n}\) và \(\frac{a}{b}\) trong 3 trường hợp

\(TH1:a=b\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)

\(TH2:a>b\Leftrightarrow ab+an>ba+bn\Leftrightarrow\frac{a+n}{b+n}< \frac{a}{b}\)

\(TH2:a< b\Leftrightarrow ab+an< ba+bn\Leftrightarrow\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

b)A=10^11-1/10^12-1

=> A< (10^11-1)+11/(10^12-1)+11=10^11+10/10^12+10=10.(10^10+1)/10.(10^11+1)=10^10+1/10^11+1<B

Vậy A<B

Từ \(\frac{a}{b}\)> 1, Suy ra: ​an < bn

                        Suy ra:  an + ab < bn + ab

                        Suy ra: a (n + b) < b (n + a)

                        Suy ra: \(\frac{a}{b}\)> \(\frac{a+n}{b+n}\)

Nhầm, Suy ra: an > bn

            Suy ra: an + ab > bn + ab

            Suy ra: a (n + b) > b (n + a)

nếu a=b=>\(\frac{a+n}{b+n}\)=\(\frac{a}{b}\)

nếu a>b=>\(\frac{a+n}{b+n}\)>\(\frac{a}{b}\)

nếu a<b=>\(\frac{a+n}{b+n}\)<\(\frac{a}{b}\)

mình làm được câu a thôi. bạn có bấm đúng k để mình làm cho

thôi mình làm hết cho

a) xét hiệu ta có: \(\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=\frac{ab+bn-ab-an}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}\)

với n,b, thuộc N => b(b+n) luôn >0

với n >0 => nếu b>a => b-a>0 <=> n(b-a) >0 => \(\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}>0\Rightarrow\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}>0\Leftrightarrow\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

ngược lại nếu b<a => b-a<0 <=> n(b-a)<0 => \(\frac{n\left(b-a\right)}{b\left(b+n\right)}