Xét \(VT=a+2b+c=1+b\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AG-GM:

\(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(1-a+1-c\right)^2=\left(2-a-c\right)^2=\left(1+a+b+c-a-c\right)^2=\left(1+b\right)^2\left(2\right)\)

\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\)

Mà \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2-\left(1-b\right)=\left(1+b\right)\left(1-b^2-1\right)=-b^2\left(1+b\right)\le0,\forall b\ge0\)

Do đó \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\le1+b\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) ta có ĐPCM

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c=\dfrac{1}{2};b=0\) 

Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên  0 ≤ a , b , c ≤ 1 ⇒ a ( 1 − a ) ≥ 0 b ( 1 − b ) ≥ 0 c ( 1 − c ) ≥ 0 ⇒ a ≥ a 2 b ≥ b 2 c ≥ c 2 ⇒ 5 a + 4 ≥ a 2 + 4 a + 4 = ( a + 2 ) 2 = a + 2 T ư ơ n g   t ự :   5 b + 4 ≥ b + 2 ; 5 c + 4 ≥ c + 2 ⇒ 5 a + 4 + 5 b + 4 + 5 c + 4 ≥ ( a + b + c ) + 6 = 7   ( đ p c m )

Giúp vs mn ơi

Cái cuối là c(1/a+1/b) nha mn

um đợi xíu mình lm cho

ta có \(a-b|P\left(a\right)-P\left(b\right).màP\left(b\right)=-1\) nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}a-b=1\\a-b=-1\end{matrix}\right.\)

tương tự ta cũng được \(\left[{}\begin{matrix}c-b=1\\c-b=-1\end{matrix}\right.\) rõ ràng a≠c(do P(a)≠P(a)) nên a-b≠c-b

từ đây ta được

\(\left[{}\begin{matrix}a-b=1\\c-b=-1\end{matrix}\right.V\left[{}\begin{matrix}a-b=-1\\c-b=1\end{matrix}\right.\)

suy ra \(a+c=2b\) 

vậy ta được đpcm

\(\frac{a}{2b+a}+\frac{b}{2c+b}+\frac{c}{2a+c}=\frac{a^2}{2ab+a^2}+\frac{b^2}{2bc+b^2}+\frac{c^2}{2ca+c^2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+a^2+2bc+b^2+2ca+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bạn giải thích rõ hơn cho mình về xét dấu = xảy ra đc k?

a/2b+a = b/2c+b = c/2a+c

kèm thêm đk : abc = 1