+) \(P=\sqrt{7x+9}+\sqrt{7y+9}+\sqrt{7z+9}\)

\(P^2\le3\left(7x+7y+7z+27\right)=102\)
\(P\le\sqrt{102}\)

\(MaxP=102\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

+) \(x,y,z\in[0;1]\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge x^2\\y\ge y^2\\z\ge z^2\end{matrix}\right.\)

\(P\ge\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{y^2+6y+9}+\sqrt{z^2+6z+9}\)

\(=x+y+z+9=10\)

\(MinP=10\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\text{và các hoán vị}\)

\(x+y=1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

=> \(A=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)\ge1^2-3\cdot\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)

vậy ...

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\).

Biểu thức này không có giá trị cụ thể. Bạn xem lại đề.

Chắc dùng Mincowski

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$12=x^2+4+4y\geq 2\sqrt{4x^2}+4y=4x+4y=4(x+y)$
$\Rightarrow x+y\leq 3$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$P=x+y+\frac{10}{x+y}=(x+y)+\frac{9}{x+y}+\frac{1}{x+y}$

$\geq 2\sqrt{(x+y).\frac{9}{x+y}}+\frac{1}{x+y}$
$=6+\frac{1}{x+y}\geq 6+\frac{1}{3}=\frac{19}{3}$ (do $x+y\leq 3$)

Vậy $P_{\min}=\frac{19}{3}$

Giá trị này đạt tại $x=2; y=1$

Tham khảo:

Vòng lặp for hoặc while duyệt qua các phần tử trong danh sách a và thân vòng lặp có thể xử lí lần lượt tất cả các phần tử hoặc chọn một số phần tử thoả mãn điều kiện nào đó: theo chỉ số i hoặc theo giá trị a(i)