a) Tổng \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên ta có:

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} = \left( {10 - 1} \right) + \left( {100 - 1} \right) + \left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {\underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} - 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) - n\end{array}\)

Tổng \(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:

\(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,s\^o \,\,0} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} = \frac{{10 - {{10}^{n + 1}}}}{{ - 9}} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9}\)

Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n}}{9}\)

2a=1+1/2+1/2^2+..............+1/2^2014+1/2^2015

2a-a=(1+1/2+1/2^2+.............+1/2^2014+1/2^2015)-(1/2+1/2^2+1/2^3+..........+1/2^2015+1/2^2016)

a=1-1/2^2016

a=2^2016-1/2^2016

vậy a =2^2016/2^2016

Lời giải:

\(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}}=\sqrt{1+2.\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}-\frac{2}{a}}\)

\(=\sqrt{(1+\frac{1}{a})^2+\frac{1}{(a+1)^2}-\frac{2}{a}}=\sqrt{\frac{(a+1)^2}{a^2}+\frac{1}{(a+1)^2}-2.\frac{a+1}{a}.\frac{1}{a+1}}\)

\(=\sqrt{(\frac{a+1}{a}-\frac{1}{a+1})^2}=|\frac{a+1}{a}-\frac{1}{a+1}|=|1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}|\)

b)

Áp dụng công thức trên vào bài toán:

\(B=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}\)

\(=|1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}|+|1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|+....+|1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}|\)

\(=99+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\)

\(=99+1-\frac{1}{100}=100-\frac{1}{100}\)

Sai đề nha bn \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\)

\(A=\sqrt{\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)\(=\sqrt{\frac{a^2\left(a+1\right)^2+2a^2+2a+1}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left[a\left(a+1\right)^2\right]+2a\left(a+1\right)+1}{a^2\left(a+1\right)^2}}\) \(=\sqrt{\frac{\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2}{a^2\left(a+1\right)^2}}\)

\(=\frac{a\left(a+1\right)+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)

Áp dụng kết quả trên ta có :

\(B=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=99+1-\frac{1}{100}=\frac{9999}{100}\)

Ta có

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n^2+n}\)(nhân lượng liên hiệp nhé)

\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào bài toán ta có

\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1.\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)

=1.1.3.3.5.5...99.99/1.3.3.5.5.7.....99.101

=(1.3.5..99/1.3.5....99).(1.3.5....99/3.5.7...101)

=1.1/101

=1/101

=1.1.3.3.5.5...99.99/1.3.3.5.5.7.....99.101

=(1.3.5..99/1.3.5....99).(1.3.5....99/3.5.7...101)

=1.1/101

=1/101

\(=\frac{1}{101}\)

Dễ hiểu với cách xét bài toán phụ sau:

Với \(a+b+c=0\) và a,b,c khác 0

Ta có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

Thật vậy, ta CM như sau:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{0}{abc}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

=> BT được chứng minh

Áp dụng vào bài chính, ta được:

\(\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-2\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)^2}=1+1-\frac{1}{2}\)

Tương tự:

\(\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

...

\(\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}=1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Cộng vế lại ta được:

\(BT=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=100-\frac{1}{100}=99,99\)