Em dùng AM-GM nhá,em ko dùng cosi đâu ha :)

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Lại có:

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\)

Khi đó:\(2S\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}\Rightarrow S\ge\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

bài 5 nhé:

a) (a+1)²>=4a

<=>a²+2a+1>=4a

<=>a²-2a+1.>=0

<=>(a-1)²>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=\(2\sqrt{a}\)

tương tự ta có:

b+1>=\(2\sqrt{b}\)

c+1>=\(2\sqrt{c}\)

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

bạn hỏi từ từ thôi

\(\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+2\)

Do \(x>1\) nên \(x-1>0;\frac{1}{x-1}>0\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(x-1+\frac{1}{x-1}\ge2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{1}{x-1}}=2\)

\(\Rightarrow x-1+\frac{1}{x-1}+2\ge4\) hay \(\frac{x^2}{x-1}\ge4\) có GTNN là 4

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=2\)

Ta có \(\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}\)+2. Áp dụng cosi cho 2 số x+1 và 1/x-1 ta có x+1+1/x-1\(\ge\)2\(\sqrt{\left(x-1\right)\frac{1}{x-1}}=1\), suy ra biểu thức \(\ge\)3, vậy giá trị nn =3 khi x-1=1/x-1, đến đó bn giải tìm x nha

Mình nhầm, GTNN=4 chứ ko phải =3 đâu nha!

mình có phần của mấy bài tập này

mình tải về rùi mà ko nhớ link 

có đáp án nữa

chuyen-de-BD-HSG-Toan9.pdf

1. Giả sử 7 là số hữu tỉ  7 m
n
 (tối giản). Suy ra
2
2 2
2
7 m hay 7n m
n
  (1).
Đẳng thức này chứng tỏ m2 7 mà 7 là số nguyên tố nên m  7. Đặt m = 7k
(k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3).
Từ (3) ta lại có n2  7 và vì 7 là số nguyên tố nên n  7. m và n cùng chia hết
cho 7 nên phân số m
n
không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số
hữu tỉ; do đó 7 là số vô tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a)  b) vì
(ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2
+ 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2  x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1,
ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1)  4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S  S ≥ 2.  mim S = 2
khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương
bc và ca ; bc và ab ; ca và ab
a b a c b c
, ta lần lượt có:
bc ca 2 bc . ca 2c; bc ab 2 bc . ab 2b
a b a b a c a c
      ; ca ab 2 ca . ab 2a
b c b c
   cộng
từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b =
c.
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
3a 5b 3a.5b
2

 .
 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b)  122 ≥ 60P  P ≤ 12
5
 max P = 12
5
.
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2  a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=”
xảy ra khi a = ½ .
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 24
Vậy min M = ¼  a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x  b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x +
3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b |  a2 + 2ab + b2
≥ a2 – 2ab + b2
 4ab > 0  ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥
0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức
này có hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82.
Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b)
2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta
được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
11. a)
2x 3 1 x 3x 4 x 4
2x 3 1 x 3
2x 3 x 1 x 2 x 2
             
b) x2 – 4x ≤ 5  (x – 2)2 ≤ 33  | x – 2 | ≤ 3  -3 ≤ x – 2 ≤ 3  -1
≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1  (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có
thể : 2x – 1 = 0
Vậy : x = ½ .
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0
(1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 +
(a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998  M ≥
1998.
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 25
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời :
a b 2 0
a 1 0
b 1 0
   
   

  
Vậy min M = 1998  a = b
= 1.
14. Giải tương tự bài 13.
15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.

tự lm nhóe

Tự tìm ĐKXĐ nhé

\(P=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5}{x-\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{5}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3-5+x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\)

c, \(P=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2+2}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)

Để \(P\in Z\Rightarrow1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2;-1;-2\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left\{-1;0\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{0\right\}\)

Kết hợp với ĐKXĐ =>...

\(B=\frac{x^2-2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-3}{x^2+1}=1-\frac{3}{x^2+1}\)

 \(B_{min}\Rightarrow\left(\frac{3}{x^2+1}\right)_{max}\Rightarrow\left(x^2+1\right)_{min}\)

\(x^2+1\ge1\). dấu = xảy ra khi x²=0

=> x=0

Vậy \(B_{min}\Leftrightarrow x=0\)

ta có: \(x^2+2x-2=x^2+2x+1^2-3=\left(x+1\right)^2-3\ge-3\)

dấu = xảy ra khi \(x+1=0\)

\(\Rightarrow x=-1\)

Vậy\(\left(x^2+2x-2\right)_{min}\Leftrightarrow x=-1\)

Để A xác định 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\ne0\\x^2-1\ne0\\x^2-2x+1\ne0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2-1\ne0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ne-1\end{cases}}\)

b,