Với giá trị nào của thì và là những số nguyên tố

Xét thì là hợp số

Xét thì

Để và là những số nguyên tố thì hay

Xét thì là hợp số

Khi thì là số nguyên tố.

Vậy với giá trị của để và là những số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố.

\(*)\) Với giá trị nào của \(n\) thì \(n-10;n+10;n+60\) là những số nguyên tố:

- Xét \(n=3k\Rightarrow n+60\) là hợp số

- Xét \(n=3k+1\Rightarrow n-10⋮3\)

Để \(n+10;n-10;n+60\) là những số nguyên tố thì \(n-10=3\) hay \(n=13\)

- Xét \(n=3k+2\Rightarrow n+10\) là hợp số

\(*)\) Khi \(n=13\Rightarrow n+90\) là số nguyên tố

Vậy \(n=13\)

\(\Rightarrow\) Với giá trị của \(n\) để \(n-10;n+10;n+60\) là những số nguyên tố thì \(n+90\) cũng là số nguyên tố (Đpcm)

\(n=2\)không thỏa. 

\(n=3\)thỏa.

\(n>3\)khi đó \(n\)có dạng \(3k+1\)hoặc \(3k+2\).

Với \(n=3k+1\)thì \(n+14=3k+15⋮3\)nên không là số nguyên tố. 

Với \(n=3k+2\)thì \(n+10=3k+12⋮3\)nên không là số nguyên tố. 

Vậy chỉ có \(n=3\)thỏa mãn. 

Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d => n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d. =>n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d. do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết chod hay n^2 +1 chia hết cho d (1). => (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d. => (n^4+3n^2+1) ...

Bài 1 : 

Ta có : 

\(\frac{3n-5}{3-2n}=\frac{3n-5}{-\left(2n-3\right)}\)

Gọi \(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=d\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}3n-5⋮d\\-\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(3n-5\right)⋮d\\-3\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n-10⋮d\\-6n+9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(6n-10\right)+\left(-6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(6n-6n\right)\left(-10+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(1\right)\)

Mà \(Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Vậy \(\frac{3n-5}{3-2n}\) là phân số tối giản với mọi số nguyên n 

Chúc bạn học tốt ~ 

Lời giải:

Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n+60$ chia hết cho $3$. Mà $n+60>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết)

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+10$ chia hết cho $3$. Mà $n+10>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái giả thiết)

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $n-10$ chia hết cho $3$. Khi đó để $n-10$ là số nguyên tố thì $n-10=3\Rightarrow n=13$. Thử thấy $n+10; n+60$ cũng đều là snt với $n=13$ nên đây là số thỏa mãn đề. Đến đây ta thay vào $n+90$ thì thấy $n+90$ cũng là snt (đpcm)

\(A=3-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}\)

\(A=3-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\right)\)

\(A=3-\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}\right)\)

\(A=3-\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)\)

\(A=3-\left(1-\frac{1}{8}\right)\)

\(A=3-\frac{5}{8}\)

\(A=\frac{19}{8}\)