Ta có:

206abc : 501 = abc

206abc=abc.501

206000+abc=abc.501

206000=abc.500

=>abc=206000:500=412

Vậy abc=412

Bài toán này liên qua đến các đường đối trung và điểm Lemoine của tam giác, hy vọng em đã học nó rồi (nếu chứng minh tất cả từ đầu thì sẽ rất tốn thời gian)

Giả sử M, N, P lần lượt thuộc BC, CA, AB, đặt \(BC=a;CA=b;AB=c\)

Gọi G là trọng tâm MNP; H, I, K lần lượt là hình chiếu của G lên BC, CA, AB

Ta có:

\(MN^2+NP^2+MP^2=3\left(GM^2+GN^2+GP^2\right)\ge3\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\)

Lại có:

\(S_{GBC}+S_{GCA}+S_{GAB}=\dfrac{1}{2}\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)=S_{ABC}\)

\(\Rightarrow4S^2=\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)^2\le\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow GH^2+GI^2+GK^2\ge\dfrac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow MN^2+NP^2+MP^2\ge\dfrac{12S^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{GH}{a}=\dfrac{GI}{b}=\dfrac{GK}{c}\) hay G là điểm Lemoine của tam giác ABC

\(\Rightarrow M;N;P\) là hình chiếu vuông góc của điểm Lemoine lên BC, CA, AB.

a) giao điểm của các đường phân giác 

b) M≡T (điểm T được gọi là điểm Toricenli của tam giác ABC).

hoặc  M≡B

nếu bạn nói M trùng B thì phải nói rõ điều kiện đặt cho 3 cạnh của tam giác

góc \(B\ge120\)

Giả sử tìm được điểm M trong \(\Delta ABC\)thỏa mãn đề bài.Vẽ các tam giác đều \(AMM_1\)và \(ACM_2\)ta có :

\(\Delta AM_1M_2=\Delta AMC\left(c-g-c\right)\)

Do đó \(M_1M_2=MC\)

Vậy \(MA+MB+MC=BM+MM_1+M_1M_2\)

Tổng này đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi bốn điểm \(B,M,M_1,M_2\)thẳng hàng

Khi đó : \(\widehat{BMA}+\widehat{AMM_1}=180^0\)và \(\widehat{AM_1M}+\widehat{AM_1M_2}=180^0\)

Mà \(\widehat{AMM_1}=\widehat{AM_1M}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AM_1M_2}=120^0\)

Vì \(\Delta AMC=\Delta AM_1M_2\),do đó \(\widehat{AMC}=\widehat{AM_1M_2}=120^0\)

Vậy M là điểm nằm trong tam giác ABC và \(\widehat{ABM}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=120^0\).

trên nửa mặt phẳng bờ AM chứa điểm C vẽ tam giác đều AMN => MA=MN (1)

Vẽ ra ngoài tam giác ABC tam giác đều ACP

Bạn tự đi chứng minh tam giác AMC = tam giác ANP

=> MC=NP (2)

Từ (1) và (2) => MA+MB+MC=BM+MN+NP \(\ge\)BP (theo tính chất đường gấp khúc)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)B,M,N,P thẳng hàng

\(\Leftrightarrow\)Góc AMB = Góc ANP =120 độ (vì AMN=ANM=60 độ)

\(\Leftrightarrow\)AMB=AMC=120 (vì 2 tam giác chứng minh trên bằng nhau nên 2 góc AMC và ANP bằng nhau)

\(\Leftrightarrow\)AMB=AMC=BMC=120

chỉ cần đến đây thôi nhé

Hình nè