Ôn tập cuối năm môn Hình học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Vũ Quỳnh Như

Cho tam giác ABC. Tìm M, N, P thuộc 3 cạnh tam giác ABC sao cho MN2 + NP2 + MP2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 4 2022 lúc 15:54

Bài toán này liên qua đến các đường đối trung và điểm Lemoine của tam giác, hy vọng em đã học nó rồi (nếu chứng minh tất cả từ đầu thì sẽ rất tốn thời gian)

Giả sử M, N, P lần lượt thuộc BC, CA, AB, đặt \(BC=a;CA=b;AB=c\)

Gọi G là trọng tâm MNP; H, I, K lần lượt là hình chiếu của G lên BC, CA, AB

Ta có:

\(MN^2+NP^2+MP^2=3\left(GM^2+GN^2+GP^2\right)\ge3\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\)

Lại có:

\(S_{GBC}+S_{GCA}+S_{GAB}=\dfrac{1}{2}\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)=S_{ABC}\)

\(\Rightarrow4S^2=\left(GH.a+GI.b+GK.c\right)^2\le\left(GH^2+GI^2+GK^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow GH^2+GI^2+GK^2\ge\dfrac{4S^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow MN^2+NP^2+MP^2\ge\dfrac{12S^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{GH}{a}=\dfrac{GI}{b}=\dfrac{GK}{c}\) hay G là điểm Lemoine của tam giác ABC

\(\Rightarrow M;N;P\) là hình chiếu vuông góc của điểm Lemoine lên BC, CA, AB.


Các câu hỏi tương tự
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Lê Nhật Anh
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
Kuramajiva
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết