a: Xét ΔADB và ΔABE có 

\(\widehat{BAE}\) chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔABE

Suy ra: \(AB^2=AD\cdot AE\)

\(a,\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB};\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\)

Mà \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB=AC\Rightarrow\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{AC}\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{ABC}\\ \Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta ADB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AE\cdot AD\)

\(b,\widehat{AEB}=\widehat{ABC}\) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

ta có: 
gọi H là trung điểm BC
AH=6
sinB=AH/AB=6/10
theo định lí sin: AC/sinB=2R
<=>10/(6/10)=2R=>R=25/3 cm ( ngoại tiếp)
S=1/2.AH.BC=48
p=18
S=pr
=>r=S/p=48/18=2,6 (nội tiếp)

Gọi AM là đg cao tg ABC thì AM cũng là trung tuyến

Do đó \(BM=\dfrac{1}{2}BC=8\left(cm\right)\)

Áp dụng PTG: \(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=6\left(cm\right)\)

Ta có \(S=p\cdot r\) với p là nửa chu vi, S là diện tích, r là bán kính đg tròn nt tg ABC

Mà \(S=\dfrac{1}{2}AM\cdot BC=48\left(cm^2\right);p=\dfrac{10\cdot2+16}{2}=18\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{48}{18}\approx2,7\left(cm\right)\)

\(a,\) Ta có \(AC=CM;MD=DB\) (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\)

Mà AC//BD(⊥AB) nên \(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{AN}{ND}\)

Từ đó \(\Rightarrow\dfrac{CM}{DM}=\dfrac{AN}{ND}\Rightarrow AC//MN\) (Ta-lét đảo)

\(b,MN//AC\Rightarrow NI//AC//BD\\ \Rightarrow\dfrac{NI}{BD}=\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{MN}{BD}\\ \Rightarrow NI=MN\)

Vậy N là trung điểm MI

a,  ABDC nội tiếp

=> ˆBAH = ˆBCD

    ACED nội tiếp

=> OAC^ = CDE^

Lại có ΔDEA nội tiếp đường tròn đường kínhAE

=> DE ⊥ AD

mà AD ⊥ BC

=> DE // BC=>BCD^ =CDE^ ( so le trong)

=>BAH^ = OAC^

b, DE // BC=> BDEC là hình thang (*)

Lại có:

DBC^ = DAC^ ( BDAC nội tiếp) (1)

BCE^= EAB^ ( ABEC nội tiếp) (2)

Lại có: BAH^ = OAC^

=> BAH^ + HAO^ = OAC^ + ˆHAO

=> EAB^ = DAC^ (3)

Từ (1) (2) (3) => DBC^= BCE^ (**)

từ (*) và (**) => BCED là hình thang cân

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

DO đó: ΔABC vuông tại A

a: góc BHD+góc BMD=180 độ

=>BHDM nội tiếp

b: BHDM nội tiếp

=>góc HDM+góc HBM=180 độ

=>góc ADM=góc ABC

=>góc ADM=góc ADC

=>DA là phân giáccủa góc MDC

c: Xét tứ giác DHNC có

góc DHC=góc DNC=90 độ

=>DHNC nội tiếp

=>góc NHD=góc NDC

góc NHD+góc MHD

=180 độ-góc NCD+góc MBD

=180  độ+180 độ-góc ABD-góc ACD

=180 độ

=>M,H,N thẳng hàng