a: góc BEH+góc BKH=180 độ

=>BEHK nội tiếp

=>góc EBH=góc EKH

góc BKA=góc BDA=90 độ

=>ABKD nội tiếp

=>góc EBH=góc AKD=góc EKH

=>KA là phân giác của góc EKD

b: góc AIO=góc AJO=góc AKO=90 độ

=>I,J,K,A,O cùng thuộc đường tròn đường kính OA

sđ cung AI=sđ cung AJ

=>góc AKI=góc AJI

=>góc AKE+góc IKE=góc AKD+góc DKJ

=>góc IKE=góc DKJ

c: 

a: góc BEC=góc BDC=1/2*180=90 độ

=>CE vuông góc AB, BD vuông góc AC

góc AEH+góc ADH=180 độ

=>AEHD nội tiếp

b: góc EFH=góc ABD

góc DFH=góc ACE
mà góc ABD=góc ACE

nên góc EFH=góc DFH

=>FH là phân giác của góc EFD

a) Tứ giác BEHK có hai góc đỉnh E, K là vuông nên bốn đỉnh của tứ giác thuộc đường tròn đường kính EK. 

Mặt khác, tứ giác ABKD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đường kính AB. Theo tính chất về các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, ta suy ra \(\angle EKA=\angle EBD=\angle AKD\to AK\) là phân giác của góc EKD.

b) Tứ giác AIKJ có hai góc đỉnh I, J vuông nên các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn đường kính AK. Do vậy \(\angle IKA=\angle AJI,\angle JKA=\angle AIJ\to\angle IKA=\angle JKA\) (do tính chất tiếp tuyến). Mà AK là phân giác của góc EKD. Suy ra \(\angle IKE=\angle JDA.\)   

c) Gọi T là giao điểm AO với IJ. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có 
\(AI^2=AT\cdot AO.\) Do chứng minh trên 

\(\angle IKA=\angle AJI=\angle AIJ\to\Delta AIH\sim\Delta AKI\left(g.g\right)\to\frac{AI}{AK}=\frac{AH}{AI}\to AI^2=AH\cdot AK.\)

Vậy ta có \(AT\cdot AO=AH\cdot AK\to\frac{AT}{AH}=\frac{AK}{AO}\to\Delta ATK\sim\Delta AKO\to\angle ATH=\angle AKO=90^{\circ}.\) Do đó ta có \(HT\perp AO\), mà \(IJ\perp AO\) do tính chất tiếp tuyến. Suy ra \(TH\equiv IJ\to I,H,J\) thẳng hàng.

a) Xét tam giác AEC và tam giác ADB

có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\)

\(\widehat{EAC}=\widehat{DAB}\)( đối đỉnh)

=> \(\Delta AEC~\Delta ADB\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AE.AB=AD.AC\)

b) Xét tam giác HCB có hai đường cao CD và BE cắt nhau tại A 

=> A là trực tâm tam giác ACB

=> HA vuông BC

=> AF vuông BC

Xét tứ giác BFEH có:

\(\widehat{BFH}=\widehat{HEB}=90^o\)

=> BFEH nội tiếp

c) Ta có: \(\widehat{EOC}=2\widehat{EBC}\)( góc ở tâm có độ lớn gấp 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Xét tứ giác ADBF có: \(\widehat{ADB}+\widehat{AFB}=90^o+90^o=180^o\)

=> ADBF nội tiếp 

=> \(\widehat{ABF}=\widehat{ADF}\)( cùng chắn cung AF) hay \(\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)

Mặt khác \(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)( cùng chắn cung EC)

=> \(\widehat{EOC}=2.\widehat{EBC}=\widehat{CDF}+\widehat{EDC}=\widehat{EDF}\)

=> \(\widehat{FOE}+\widehat{FDE}=\widehat{FOE}+\widehat{EOC}=180^o\)( hai góc bù nhau)

=> Tứ giác DEOF nội tiếp

a: góc BEC=1/2*180=90 độ

góc BDC=1/2*180=90 độ

góc AEH+góc ADH=180độ

=>AEHD nội tiếp

b: Xet ΔABC có BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

Xét ΔSBE và ΔSDC co

góc SBE=góc SDC

góc S chung

=>ΔSBE đồng dạngvơi ΔSDC

=>SB/SD=SE/SC

=>SB*SC=SD*SE

c: góc AFC=góc AEC=90 độ

=>AEFC nội tiếp

=>góc FEC=góc FAC

bài này mới chữa trên lớp =))

a: Xét (O) có

góc BEC, góc BDC đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=>góc BEC=góc BDC=90 độ

=>CE vuông góc AB, BD vuông góc AC

Xét ΔABC có

CE,BD là đường cao

CE cắt BD tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại F

góc BEH+góc BFH=180 độ

=>BEHF nội tiếp
b: Xét ΔHCB có CO/CB=CM/CH

nên OM//BH

=>góc COM=góc CBH

=>góc COM=góc FEC

=>góc MOF+góc FEM=180 độ

=>OMEF nội tiếp