Lời giải:

Nếu $m=1$ thì $(d): y=-2$ cách $O$ một khoảng $d=2$

Nếu $m=2$ thì $(d): x=1$ cách $O$ một khoảng $d=1$

Nếu $m\neq 1;2$:
Gọi $A$ và $B$ là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox, Oy$

$y_A=0\Rightarrow x_A=\frac{1}{m-1}$

$x_B=0\Rightarrow y_B=\frac{2}{m-2}$

Gọi khoảng cách từ $O$ đến (d) là $h$ thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}\) \(=(m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2\)

Để $h_{\max}$ thì $\frac{1}{h^2}$ min hay $(m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2$ min

Dễ thấy:

\((m-1)^2+(\frac{m-2}{2})^2=\frac{3}{2}m^2-4m+3\) \(=\frac{3}{2}(m-\frac{4}{3})^2+\frac{1}{3}\) đạt min khi $m=\frac{4}{3}$

Khi đó $h=\sqrt{3}$

Thông qua các TH trên thì thấy $m=1$ thì thỏa đề.

Ta có :

    y = m\(x\) + 2

⇒ y - m\(x\) - 2 = 0

⇒ -m\(x\) + y  - 2 = 0

⇒d(O;d) = \(\dfrac{\left|0-0-2\right|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 1

 ⇒  \(\sqrt{1+m^2}\) =  2

⇒ 1 + m² = 4 ⇒ m² = 3 ⇒ m = -\(\sqrt{3}\); m = \(\sqrt{3}\)

b, d(O;d)  = \(\dfrac{2}{\sqrt{m^2+1}}\)  

         2 > 0; 1 + m² > 0 Vậy \(\dfrac{2}{\sqrt{m^2+1}}\) lớn nhất ⇔ 1 + m² nhỏ nhất.

    m² ≥ 0 ⇒ 1 + m² ≥ 1 vậy m² + 1  đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 0

                 ⇒d(max) = 2 ⇒ m= 0

                Vậy m = 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất và khoảng cách đó là 2

Kết luận a, Với m = -\(\sqrt{3}\); \(\sqrt{3}\) thì khoảng cách từ gốc tọa độ tới d bằng 1

              b,  Với m = 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ tới d bằng 2 là khoảng cách lớn nhất .

\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)

Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua

\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(OH^2=t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)

Lời giải:a) Gọi $M(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua với mọi giá trị của $m$. Ta chỉ cần chỉ ra $x_0,y_0$ có tồn tại là được.

$M\in (d), \forall m$

$\Leftrightarrow y_0=(m-2)x_0+2, \forall m$

$\Leftrightarrow mx_0+(2-2x_0-y_0)=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=0\\ 2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=0\\ y_0=2\end{matrix}\right.\) 

Vậy $(d)$ luôn đi qua điểm cố định $(0,2)$ (đpcm)

b) Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox,Oy$

Dễ thấy $A(\frac{-2}{m-2},0)$ và $B(0,2)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, nếu khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$ thì:

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}=\frac{(m-2)^2}{4}+\frac{1}{4}\)

Để $h=1$ thì \((m-2)^2+1=4\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}-2\)

c) Để $h_{\max}$ thì $\frac{(m-2)^2+1}{4}$ min

$\Leftrightarrow (m-2)^2+1$ min

Dễ thấy $(m-2)^2+1$ đạt giá trị min bằng $1$ khi $m-2=0\Leftrightarrow m=2$

Bạn viết sai rồi, đường thẳng y-mx+2 =0 hay y=mx+2 vậy bạn?