Tìm m để đa thức x^3 + y^3 +z^3 + mxyz chia hết cho đa thức x+ y + z
Tìm giá trị của m để đa thức \(x^3+y^3+z^3+mxyz\) chia hết cho x+y+z
Xác định m để đa thức \(x^3+y^3+z^3+mxyz\) chia hết cho đa thức \(x+y+z\)
Lời giải:
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3+mxyz=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)+mxyz\)
\(=(x+y+z)^3-3[xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz]+mxyz\)
\(=(x+y+z)^3-3[xy(x+y+z)+yz(x+y+z)+xz(x+y+z)-xyz]+mxyz\)
\(=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+3xyz+mxyz\)
\(=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+(m+3)xyz\)
Như vậy, để \(x^3+y^3+z^3+mxyz\vdots x+y+z, \forall x,y,z\) thì \((m+3)xyz\vdots x+y+z, \forall x,y,z\)
\(\Rightarrow m+3=0\Rightarrow m=-3\)
Cách khác :
Đặt : \(F=x^3+y^3+z^3+mxyz\)
Xem F là một đa thức theo x , kí hiệu : \(F\left(x\right)\)
Vì : \(\left(x+y+z\right)=x-\left(-y-z\right)\) và \(F\) ⋮ \(\left(x+y+z\right)\)
⇒ \(F\left(x\right)\text{⋮}\left[x-\left(-y-z\right)\right]\)
⇒ \(F\left(-y-z\right)=0\) ⇔ \(\left(-y-z\right)^3+y^3+z^3+m\left(-y-z\right)yz=0\)
⇔ \(-3yz\left(y+z\right)+m\left(-y-z\right)yz=0\)
⇔ \(-3yz\left(y+z\right)-m\left(y+z\right)yz\)
⇔ \(-yz\left(y+z\right)\left(m+3\right)=0\)
Đẳng thức trên đúng ∀y,z ⇔ m = - 3
Ta có x +y+z khác 0 x,y,z khác 0 . Tìm m để đa thức x3+ y3 +z3 +mxyz chia hết cho x+y+z
đặt phép chia ,để phép chia là phép chia hết thì dư=0 .....=>m=-3
hoặc có thể dễ nhận thấy m=-3 sẽ có hđt x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) chia hết cho (x+y+z)
với x,y,z khác 0 . x+y+z khác 0.Giá trị của m là bao nhêu để đa thức x3+y3+z3 + mxyz chia hết cho x+ y+ z là .....
Xác định số k để đa thức A= x3 + y3 + z3 + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z
gọi thương khi chia đa thức A cho x + y + z là Q, ta có :
x3 + y3 + z3 + kxyz = ( x + y + z ) . Q
đẳng thức trên đúng với mọi x,y,z nên với x = 1, y = 1, z = -2 ta có :
1 + 1 + ( -2 )3 + k . ( -2 ) = ( 1 + 1 - 2 ) . Q \(\Rightarrow\)-6 - 2k = 0 \(\Rightarrow\)k = -3
với k = -3 ta có : x3 + y3 + z3 - 3xyz chia hết cho x + y + z ( thương là x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx )
Vậy ...
gọi thương khi chia đa thức A cho x + y + z là Q ta có
x^3 =y^3+z^3 +kxyzz =(x + y +z) .Q
đẳng thức trên có thể đúng với các chữ như x,y,z nên x = 1y , 1z = -2
nên :
=>k = - 3 ta cs : x^ +y^3 +z^3 - 3xyz chia hết cho x =y +z (thườn là x2 + y2 -xy - z - zx)
Xem lại đề
Xem A là một đa thức theo x, kí hiệu \(A(x)\)
Vì \((x+y+z)=x-(-y-z)\)và \(A⋮(x+y+z)\)nên \(A(x)⋮\left[x-(-y-z)\right]\)
Suy ra \(A(-y-z)=0\Leftrightarrow(-y-z)^3+y^3+z^3+k(-y-z)yz=0\)
\(\Leftrightarrow-3yz(y+z)+k(-y-z)yz=0\Leftrightarrow-yz(y+z)(3+k)=0\)
Đẳng thức trên đúng \(\forall y,z\Leftrightarrow k=-3\)
Xác định số hữu tỉ k để đa thức
A= x3 + y3 + z3 + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z
Lời giải:
Ta sử dụng các công thức hằng đẳng thức đáng nhớ:
\(A=x^3+y^3+z^3+kxyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3+kxyz\)
\(=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)+kxyz\)
\(=(x+y+z)^3-3(x+y)z^2-3(x+y)^2z-3xy(x+y)+kxyz\)
\(=(x+y+z)^3-3(x+y)z(z+x+y)-3xy(x+y+z)+(k+3)xyz\)
\(=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+(k+3)xyz\)
\(=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+(k+3)xyz\)
Vậy để \(A\vdots x+y+z\) thì \((k+3)xyz\vdots x+y+z, \forall x,y,z\)
Điều này xảy ra chỉ khi \(k+3=0\Leftrightarrow k=-3\)
Với x,y,z\(\ne\)0,x+y+x\(\ne\)0
Giá trị của m để đa thức \(x^3+y^3+z^3+mxyz\) chia hết cho đa thức x+y+z
m=-3 có trong mấy cái hàng đẳng thức đáng nhớ
tìm x thuộc Z để giá trị của đa thức M=3x^3+4x^2-7x+5 chia hết cho giá trị của đa thức N=x-3
\(M⋮N\\ \Rightarrow3x^3+4x^2-7x+5⋮x-3\\ \Rightarrow3x^3-9x^2+13x^2-39x+32x-96+101⋮x-3\\ \Rightarrow3x^2\left(x-3\right)+13x\left(x-3\right)+32\left(x-3\right)+101⋮x-3\\ \Rightarrow x-3\inƯ\left(101\right)=\left\{-101;-1;1;101\right\}\\ \Rightarrow x\in\left\{-98;2;4;104\right\}\)
\(x\in\left\{-98;2;4;104\right\}\)
Cho \(F=x^3+y^3+z^3+mxyz.\). Định m để F chia hết cho ( x+y+z).
Xem F là một đa thức theo x, kí hiệu F(x).
Vì (x + y+ z)= x - (-y - z) và F\(⋮\)(x + y + z) nên F(x) \(⋮\)\([x-\left(-y-z\right)]\)
Suy ra F (-y - z) = 0 \(\Leftrightarrow\)\(\left(-y-z\right)^3+y^3+z^3+m\left(-y-z\right)yz=0\)
\(\Leftrightarrow-3yz\left(y+z\right)+m\left(-y-z\right)yz=0\)\(\Leftrightarrow yz\left(y+z\right)\left(3+m\right)=0\)
Đẳng thức trên đúng \(\forall y,z\Leftrightarrow m=-3\)
\(F=x^3+y^3+z^3+mxyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz+mxyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+xyz\left(m+3\right)\)
Vì\(F⋮\left(x+y+z\right)\)mà \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)⋮x+y+z\)
Nên \(xyz\left(m+3\right)⋮x+y+z\forall x;y;z\)
Như vậy m + 3 = 0 <=> m = -3