Giải pt dạng asinx+bcosx =c
Giải pt dạng asinx+bcosx=c
\(\sqrt{2}\left(cos^4x-sin^4x\right)=sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(cos^2x+sin^2x\right)\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)=sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left[\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)-1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\left[2cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\)) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{12}+k2\pi\\x=-\dfrac{7\pi}{12}+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))
Vậy...
Giải Pt dạng asinx+bcosx=c
Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 2(\sin \frac{\pi}{4}\cos x+\cos \frac{\pi}{4}\sin x)+(\sin x\cos \frac{\pi}{4}-\cos x\sin \frac{\pi}{4})=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\cos x+\sin x)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2(\cos x+\sin x)+(\sin x-\cos x)=3\)
\(\Leftrightarrow \cos x+3\sin x=3\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{10}}\cos x+\frac{3}{\sqrt{10}}\sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}\)
\(\Leftrightarrow \sin t\cos x+\cos t\sin x=\cos t\) với \(\frac{1}{\sqrt{10}}=\sin t(t\in (0;\pi))\)
\(\Leftrightarrow \sin (t+x)=\cos t=\sin (\frac{\pi}{2}-t)\)
\(\Rightarrow t+x=\frac{\pi}{2}-t+2k\pi\) hoặc $t+x=\frac{\pi}{2}+t+2k\pi$ với $k$ nguyên.
Giải pt asinx + bcosx =c
q) \(3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x\)
\(\Leftrightarrow3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+3sin3x-sin9x\)
\(\Leftrightarrow sin9x-\sqrt{3}cos9x=1\)
\(\Leftrightarrow sin9x.cos\dfrac{\pi}{3}-cos9x.sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(9x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{9}\\x=\dfrac{7\pi}{54}+\dfrac{k2\pi}{9}\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))
Vậy...
x) \(8sinx=\dfrac{\sqrt{3}}{cosx}+\dfrac{1}{sinx}\)
(đk: \(cosx\ne0;sinx\ne0\) \(\Rightarrow sin2x\ne0\) \(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{k\pi}{2}\);\(k\in Z\))
\(\Leftrightarrow8sinx=\dfrac{\sqrt{3}sinx+cosx}{cosx.sinx}\)
\(\Leftrightarrow\)\(8sinx.cosx.sinx=\sqrt{3}sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow4sinx.sin2x=\sqrt{3}sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow2\left(cosx-cos3x\right)=\sqrt{3}sinx+cosx\)
\(\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=2cos3x\)
\(\Leftrightarrow cosx.cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-sinx.sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=cos3x\)
\(\Leftrightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=cos3x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}-k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\)) (thỏa mãn)
Vậy...
giải pt asinx + bcosx = c
Pt \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{5}sin\left(x+1\right)+\dfrac{4}{5}cos\left(x+1\right)=1\)
Đặt \(cos\alpha=\dfrac{3}{5}\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{4}{5}\) ( vì \(cos^2\alpha+sin^2\alpha=1\))
Pt tt: \(sin\left(x+1\right).cos\alpha+cos\left(x+1\right).sin\alpha=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+1+\alpha\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x+1+\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) (\(k\in Z\))
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-1+k2\pi\) (\(k\in Z\))
`3sin(x+1)+4cos(x+1)=5`
`<=> 3/5 sin(x+1) + 4/5 cos (x+1)=1`
Vì `(3/5)^2 + (4/5)^2 = 1` nên ta có:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}sinα=\dfrac{3}{5}\\cosα=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
`sin α . sin(x+1)+cosa . cos(x+1)=1`
`<=> cos(α - x-1)=1`
`<=> α -x-1=k2π`
`<=> x=α-1+k2α (k \in ZZ)`
Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản , cách giải phương trình a sin x + b cos x = c .
a) Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:
+ Phương trình sin x = a.
Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.
Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α
⇒ Phương trình có nghiệm:
+ Phương trình cos x = a.
Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.
Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.
⇒ Phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π (k ∈ Z).
+ Phương trình tan x = a.
Tìm một cung α sao cho tan α = a.
Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.
⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).
+ Phương trình cot x = a
Tìm một cung α sao cho cot α = a.
Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.
⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).
b) Cách giải phương trình a.sin x + b.cos x = c.
+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản .
+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.
giải pt dạng asinx + bscosx = c câu g,h,j
g)\(5sin2x-6cos^2x=13\)
\(\Leftrightarrow10.sinx.cosx-6cos^2x=13\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(\Leftrightarrow13.sin^2x-10.sinx.cosx+19.cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow13\left(sinx-\dfrac{5}{13}cosx\right)^2+\dfrac{222}{13}cos^2x=0\) (vô nghiệm vì dấu bằng xảy ra khi sinx=cosx=0 \(\Rightarrow∄x\))
Vậy pt vô nghiệm
h)\(cos^2x+2\sqrt{3}sinx.cosx+3sin^2x=1\)
\(\Leftrightarrow1+2sin^2x+2\sqrt{3}.sinx.cosx=1\)
\(\Leftrightarrow2sinx\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2.sinx.2sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)(k nguyên)
Vậy...
j) \(sinx+cosx=\sqrt{2}.sin4x\)
\(\Leftrightarrow sinx.\dfrac{1}{\sqrt{2}}+cosx.\dfrac{1}{\sqrt{2}}=sin4x\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=sin4x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\pi}{4}=4x+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-4x+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{k2\pi}{3}\\x=\dfrac{3\pi}{20}+\dfrac{k2\pi}{5}\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))
Vậy...
Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình asinx+bcosx=c có nghiệm
Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm?
A. a 2 + b 2 > c 2
B. a 2 + b 2 ≤ c 2
C. a 2 + b 2 = c 2
D. a 2 + b 2 ≥ c 2
Chọn D.
Phương pháp:
Phương trình thuần nhất đối với sin và cos, dạng
Phương trình thuần nhất đối với sin và cos, dạng
Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau
1, \(A=sinx-cosx\)
2, \(B=sinx=cosx\)
3, \(C=asinx-bcosx\)
4, \(D=sin^4x-cos^4x\)
\(A=\sqrt{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\Rightarrow-\sqrt{2}\le A\le\sqrt{2}\)
B ko rõ đề
\(C=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx-\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\)
Đặt \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cosy\Rightarrow\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=siny\)
\(\Rightarrow C=\sqrt{a^2+b^2}\left(sinx.cosy-cosx.siny\right)=\sqrt{a^2+b^2}sin\left(x-y\right)\)
\(\Rightarrow-\sqrt{a^2+b^2}\le C\le\sqrt{a^2+b^2}\)
\(D=\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=sin^2x-cos^2x=-cos2x\)
\(\Rightarrow-1\le D\le1\)