\(\sqrt{2}\left(cos^4x-sin^4x\right)=sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(cos^2x+sin^2x\right)\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)=sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left[\sqrt{2}\left(cosx-sinx\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\left[2cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\pi}{4}=k\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\)) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{12}+k2\pi\\x=-\dfrac{7\pi}{12}+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))

Vậy...

Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 2(\sin \frac{\pi}{4}\cos x+\cos \frac{\pi}{4}\sin x)+(\sin x\cos \frac{\pi}{4}-\cos x\sin \frac{\pi}{4})=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\cos x+\sin x)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2(\cos x+\sin x)+(\sin x-\cos x)=3\)

\(\Leftrightarrow \cos x+3\sin x=3\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{10}}\cos x+\frac{3}{\sqrt{10}}\sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow \sin t\cos x+\cos t\sin x=\cos t\) với \(\frac{1}{\sqrt{10}}=\sin t(t\in (0;\pi))\)

\(\Leftrightarrow \sin (t+x)=\cos t=\sin (\frac{\pi}{2}-t)\)

\(\Rightarrow t+x=\frac{\pi}{2}-t+2k\pi\) hoặc $t+x=\frac{\pi}{2}+t+2k\pi$ với $k$ nguyên.

q) \(3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+4sin^33x\)

\(\Leftrightarrow3sin3x-\sqrt{3}cos9x=1+3sin3x-sin9x\)

\(\Leftrightarrow sin9x-\sqrt{3}cos9x=1\)

\(\Leftrightarrow sin9x.cos\dfrac{\pi}{3}-cos9x.sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(9x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{9}\\x=\dfrac{7\pi}{54}+\dfrac{k2\pi}{9}\end{matrix}\right.\) (\(k\in Z\))

Vậy...

x) \(8sinx=\dfrac{\sqrt{3}}{cosx}+\dfrac{1}{sinx}\) 

(đk: \(cosx\ne0;sinx\ne0\) \(\Rightarrow sin2x\ne0\) \(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{k\pi}{2}\);\(k\in Z\))

\(\Leftrightarrow8sinx=\dfrac{\sqrt{3}sinx+cosx}{cosx.sinx}\)

\(\Leftrightarrow\)\(8sinx.cosx.sinx=\sqrt{3}sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow4sinx.sin2x=\sqrt{3}sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow2\left(cosx-cos3x\right)=\sqrt{3}sinx+cosx\)

\(\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=2cos3x\)

\(\Leftrightarrow cosx.cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-sinx.sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=cos3x\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=cos3x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}-k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\)) (thỏa mãn)

Vậy...

Pt \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{5}sin\left(x+1\right)+\dfrac{4}{5}cos\left(x+1\right)=1\)

Đặt \(cos\alpha=\dfrac{3}{5}\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{4}{5}\) ( vì \(cos^2\alpha+sin^2\alpha=1\))

Pt tt: \(sin\left(x+1\right).cos\alpha+cos\left(x+1\right).sin\alpha=1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+1+\alpha\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x+1+\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) (\(k\in Z\))

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-1+k2\pi\) (\(k\in Z\))

`3sin(x+1)+4cos(x+1)=5`

`<=> 3/5 sin(x+1) + 4/5 cos (x+1)=1`

Vì `(3/5)^2 + (4/5)^2 = 1` nên ta có:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}sinα=\dfrac{3}{5}\\cosα=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

`sin α . sin(x+1)+cosa . cos(x+1)=1`

`<=> cos(α - x-1)=1`

`<=> α -x-1=k2π`

`<=> x=α-1+k2α (k \in ZZ)`

a) Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:

+ Phương trình sin x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.

Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α

⇒ Phương trình có nghiệm: 

+ Phương trình cos x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.

Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.

⇒ Phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π (k ∈ Z).

+ Phương trình tan x = a.

Tìm một cung α sao cho tan α = a.

Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

+ Phương trình cot x = a

Tìm một cung α sao cho cot α = a.

Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

b) Cách giải phương trình a.sin x + b.cos x = c.

+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản .

+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.

g)\(5sin2x-6cos^2x=13\)

\(\Leftrightarrow10.sinx.cosx-6cos^2x=13\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow13.sin^2x-10.sinx.cosx+19.cos^2x=0\)

\(\Leftrightarrow13\left(sinx-\dfrac{5}{13}cosx\right)^2+\dfrac{222}{13}cos^2x=0\)  (vô nghiệm vì dấu bằng xảy ra khi sinx=cosx=0 \(\Rightarrow∄x\))

Vậy pt vô nghiệm

h)\(cos^2x+2\sqrt{3}sinx.cosx+3sin^2x=1\)

\(\Leftrightarrow1+2sin^2x+2\sqrt{3}.sinx.cosx=1\)

\(\Leftrightarrow2sinx\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2.sinx.2sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)(k nguyên)

Vậy...

j) \(sinx+cosx=\sqrt{2}.sin4x\)

\(\Leftrightarrow sinx.\dfrac{1}{\sqrt{2}}+cosx.\dfrac{1}{\sqrt{2}}=sin4x\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=sin4x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\pi}{4}=4x+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-4x+k2\pi\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{k2\pi}{3}\\x=\dfrac{3\pi}{20}+\dfrac{k2\pi}{5}\end{matrix}\right.\)(\(k\in Z\))

Vậy...

Chọn D.

Phương pháp:

Phương trình thuần nhất đối với sin và cos, dạng 

Phương trình thuần nhất đối với sin và cos, dạng 

\(A=\sqrt{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\Rightarrow-\sqrt{2}\le A\le\sqrt{2}\)

B ko rõ đề

\(C=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx-\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\)

Đặt \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cosy\Rightarrow\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=siny\)

\(\Rightarrow C=\sqrt{a^2+b^2}\left(sinx.cosy-cosx.siny\right)=\sqrt{a^2+b^2}sin\left(x-y\right)\)

\(\Rightarrow-\sqrt{a^2+b^2}\le C\le\sqrt{a^2+b^2}\)

\(D=\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=sin^2x-cos^2x=-cos2x\)

\(\Rightarrow-1\le D\le1\)