Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn tính chất:
\(f\left(x\right)+2.f\left(-\frac{3}{x}\right)=4x-7\forall x\ne0\)
Tính f(2)
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn các điều kiện \(f\left(x\right)>0,\forall x\in R\), \(f\left(0\right)=1\) và \(f'\left(x\right)=-4x^3.\left(f\left(x\right)\right)^2,\forall x\in R\). Tính \(I=\int_0^1x^3f\left(x\right)dx\)
A.\(I=\dfrac{1}{6}\) B. \(I=ln2\) C. \(I=\dfrac{1}{4}\) D. \(I=\dfrac{ln2}{4}\)
Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥
\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)
Lấy nguyên hàm hai vế
\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)
Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)
\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)
Chọn D
Cho hàm số \(f\left(x\right)\)xác định với \(\forall x\ne0\)thỏa mãn:
a) \(f\left(1\right)=1\)
b) \(f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}\cdot f\left(x\right)\)
c) \(f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\)với \(\forall x_1;x_2\ne0\)và \(x_1+x_2\ne0\)
Chứng minh rằng: \(f\left(\frac{5}{7}\right)=\frac{5}{7}\)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn: \(2xf'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}cosx,\forall x\in\left(0;+\infty\right)\) và \(f\left(4\Pi\right)=0\)
Tính giá trị biểu thức \(f\left(9\Pi\right)\)
\(2x.f'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}.cosx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=x.cosx\)
\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'=x.cosx\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'dx=\int x.cosxdx\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=x.sinx+cosx+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx+C.\sqrt{x}\)
Thay \(x=4\pi\)
\(\Rightarrow0=4\pi.\sqrt{4\pi}.sin\left(4\pi\right)+\sqrt{4\pi}.cos\left(4\pi\right)+C.\sqrt{4\pi}\)
\(\Rightarrow C=-1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx-\sqrt{x}\)
1. Chứng minh rằng mọi hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) thỏa mãn \(f\left(xy+x+y\right)=f\left(xy\right)+f\left(x\right)+f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
2. Xác định tất cả các hàm số \(f\) liên tục trên \(ℝ\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(2x-y\right)=2f\left(x\right)-f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên tập xác định R, và thỏa mãn điều kiện phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm \(x=-3\) ; \(x=0\) ; \(x=2\). Xét hàm số \(y=g\left(x\right)=f\left(x^2+4x-m\right)\), tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\in[-10;10]\) để phương trình \(g'\left(x\right)=0\) có đúng 5 nghiệm phân biệt .
A. -6 B. 42 C. 50 D. 6
P/s: Kì thi cuối học kỳ 2 lớp 11 trường THPT Phan Huy Chú , thành phố Hà Nội
Em xin nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán, em cám ơn nhiều ạ!
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+2021x=0,\forall x\in R.\) Tính giá trị của biểu thức \(T=5f\left(2\right)+36f'\left(2\right)\) .
Tìm tất cả hàm số \(f:R\rightarrow R\) thỏa mãn\(f\left(f\left(x+y\right).f\left(x-y\right)\right)=x^2-y.f\left(y\right)\) \(\forall x,y\in R\)
Cho hai hàm số \(f\left(x\right),g\left(x\right)\) đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn: \(f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+x^2.g\left(x\right)+36x=0\forall x\in R\). Tính \(A=3f\left(2\right)+4f'\left(2\right)\)
A. A = -10
B. A = 10
C. A = 1
D. A = 9
\(f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+x^2g\left(x\right)+36x=0\) (1)
Thay \(x=0\Rightarrow f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Đạo hàm 2 vế của (1):
\(\Rightarrow-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\)
Thay \(x=0\)
\(\Rightarrow-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)
TH1: \(f\left(2\right)=0\Rightarrow36=0\) (ktm)
TH2: \(f\left(2\right)=2\)
\(\Rightarrow-3.2^2.f'\left(2\right)-12.2.f'\left(2\right)+36=0\Rightarrow f'\left(2\right)=1\)
\(\Rightarrow A=3.2+4.1=10\)
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R thõa mãn các điều kiện sau:
\(\hept{\begin{cases}f\left(x\right)>0,\forall x\in R\\f'\left(x\right)=-e^xf^2\left(x\right),\forall x\in R\\f\left(o\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Hãy tính \(f\left(ln2\right)\).