Với \(x=0\Rightarrow n^5+n^4+1=1\left(loai\right)\)

Với \(x=1\Rightarrow n^5+n^4+1=3\left(TM\right)\)

Với \(x\ge2\) ta có:

\(n^5+n^4+1\)

\(=n^5-n^2+n^4-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n^3-1\right)+n\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=A\cdot\left(n^2+n+1\right)+B\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(A+B+1\right)\) là hợp số với mọi \(n\ge2\)

Vậy \(n=1\)

Với \(n=0\Rightarrow A=n^8+n+1=1\left(KTM\right)\) vì 1 không là SNT

Với \(n=1\Rightarrow A=n^8+n+1=3\left(TM\right)\) vì 3 là SNT

Với \(n\ge2\) ta có:

\(A=n^8+n+1\)

\(=\left(n^8-n^2\right)+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n^6-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left[\left(n^3\right)^2-1^2\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^3-1\right)\left(n^3+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X\cdot\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X'\left(x^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(X'+1\right)\) là hợp số với \(n\ge2\)

Vậy \(n=1\)

1) Để n⁵+n⁴+1 là số chính phương thì \(\orbr{\begin{cases}n^2+n+1=1\\n^5+n^4+1=n^2+n+1\end{cases}}\)

TH1: \(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\left(n\inℕ\right)\)

Thử lại sai

TH2: \(n^2+n+1=n^5+n^4+1\)

\(\Leftrightarrow n^5-n^2+n^4-n=0\)

\(\Leftrightarrow n\left(n^3-1\right)\left(n+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=1\\n=0\end{cases}}\)

Thử lại thấy n=1 thỏa mãn

Vậy n=1

\(Taco::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::\)

\(GỌi:ƯCLN\left(2n+1;7n+2\right)=d\Rightarrow7\left(2n+1\right)-2\left(7n+2\right)⋮d\Rightarrow3⋮d\)

Để 2n+1 và 7n+2 nguyên tố cùng nhau thì: 2n+1 hoặc 7n+2 ko chia hết cho 3

Giả sử: 2n+1 chia hết cho 3

=> 2n+1-3 chia hết cho 3

=> 2n-2 chia hết cho 3

=> 2(n-1) chia hết cho 3=> n-1 chia hết cho 3

Giả sử: 7n+2 chia hết cho 3

=> 7n+2-9 chia hết cho 3

=>.........

Vậy với n khác 3k+1;3k+2 thì thỏa mãn

MK nhầm chỉ khác 3k+1 nha bỏ đoạn dưới

Thank you nha!

a) gs cả 2 số đều lẻ thì tổng chẵn 

mà 2 số nguyên tố lẻ nên >2 => tổng >2 mà tổng chẵn => ko là sô nguyên tố => trái đề bài

suy ra 1 trong 2 số là số chẵn mà 2 số là số nguyên tố => một số =2

mà 2 số này là 2 số nguyên tố liên tiếp nên số còn lại là 3

b) đặt 19n=p ( p nguyên tố);

vì p nguyên tố nên phân tích p thành tích 2 số tự nhiên ta có p=p*1

=> p=19;n=1

c)đặt (p+1)(p+7)=a ( a nguyên tố)

vì a nguyên tố nên phân tích a thành tích 2 số tự nhiên ta có a=a*1; mà p+1<p+7

nên p+1=1 và p+7=a => p=0;a=7

Cảm ơn bn nha

Nhưng bn cho mk hỏi p*1 là gì vậy

1) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² + 2 + 2n).(n² + 2 - 2n)

Ta có n²  + 2n + 2 = (n+1)² + 1 > 1 với n là số tự nhiên 

n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1 $\ge$ 1 với n là số tự nhiên

Để  n⁴ + 4 là số nguyên tố =>  thì  n⁴ + 4 chỉ có 2 ước là chính nó và 1 

=> n²  + 2n + 2  = n⁴ + 4 và n² - 2n + 2 = (n -1)²  + 1  = 1 

(n -1)²  + 1  = 1 => n - 1= 0 => n = 1

Vậy n = 1 thì n⁴ là số nguyên tố