A=1/(1+3)+1/(1+3+5)+1/(1+3+5+7)+...+1/(1+3+5+7+...+2017)

A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/1009^2

2A=2/2^2+2/3^2+2/4^2+...+2/1009^2

Ta co :(x-1)(x+1)=(x-1)x+x-1=x^2-x+x-1=x^2-1<x^2

suy ra 2A<2/(1*3)+2/(3*5)+2/(5*7)+...+2/(1008*1010)

suy ra 2A <1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/1008-1/1010

suy ra 2A<1-1/1010

suy ra 2A<2009/2010<1<3/2

suy ra 2A <3/2

suy ra A <3/4 (dpcm)

nho k cho minh voi nha

có cách nào dễ hiểu hơn không ạ?

A=1/(1+3)+1(1+3+5)+1/(1+3+5+7)+....+1/(1+3+5+7+...+2017)

A=1/4+1/9+1/16+....+1/1018081

A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/1009^2

Ta có : 1/3^2=1/3x3<1/2x3

           1/4^2=1/4x4<1/3x4

           ......

           1/1009^2<1/1008x1009
   Suy ra 1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....+1/1009^2<1/2^2+1/2x3+1/3x4+.....+1/1008x1009

   Suy ra A< 1/2^2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....+1/1008-1/1009

              => A<1/2^2+1/2+1/3-1/3+......+1/1008-1/1008-1/1009

              => A<1/2^2+( 1/2-1/1009)

              => A< 3023/4036

Mà +) 3023<3/4
      +) A<3023/4026

Suy ra A<3/4

              => A<1008/1009

Ta có 1008/1009+

\(1+3+5+7+....+\left(2n+1\right)=\left\{\left[\left(2n+1\right)-1\right]:2+1\right\}.\frac{2n+2}{2}=\left(n+1\right)^2\)

Áp dụng ta có :

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{1009^2}\)

Ta có :\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{1009^2}< \frac{1}{1008.1009}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{1008.1009}\)

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..+\frac{1}{1008}-\frac{1}{1009}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1009}=\frac{3}{4}-\frac{1}{1009}< \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

A=1/2^2+1/3^2+...+1/1009^2

=>A<1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/1008.1009

A<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/1008-1/1009

=>A<1-1/1009

=>A<3/4

\(5A=\frac{1}{5}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...+\frac{99}{5^{99}}\)

\(A=\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^3}+\frac{3}{5^4}+...+\frac{99}{5^{100}}\)

\(\Rightarrow4A=5A-A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{99}}-\frac{99}{5^{100}}\)

Đặt \(B=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{99}}\)

Khi đó \(4A=B-\frac{99}{5^{100}}< B\)

\(5B=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{98}}\)

\(B=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{98}}+\frac{1}{5^{99}}\)

\(\Rightarrow4B=5B-B=1-\frac{1}{5^{99}}\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{4}-\frac{1}{4\cdot5^{99}}< \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow4A < B\Rightarrow4A< \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{16}\) ( đpcm )

2. \(M=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2019}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}\right)\)

\(M=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}\right)\)

\(M=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2019}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1009}\right)\)

\(M=\frac{1}{1010}+\frac{1}{1011}+...+\frac{1}{2019}\)

\(\Rightarrow\left(M-N\right)^3=0\)

tuổi con HN là :

50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )

tuổi bố HN là :

50 - 10 = 40 ( tuổi )

hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi

ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|

                  con : |----| hiệu 30 tuổi

tuổi con khi đó là :

 30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )

số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :

 15 - 10 = 5 ( năm )

       ĐS : 5 năm

mình nha

\(A=\frac{1}{1+3}+\frac{1}{1+3+5}+...+\frac{1}{1+3+5+...+2017}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\frac{\left(3+1\right).\left[\left(3-1\right):2+1\right]}{2}}+\frac{1}{\frac{\left(5+1\right).\left[\left(5-1\right):2+1\right]}{2}}+...+\frac{1}{\frac{\left(2017+1\right).\left[\left(2017-1\right):2+1\right]}{2}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\frac{4.2}{2}}+\frac{1}{\frac{6.3}{2}}+...+\frac{1}{\frac{2018.1009}{2}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{1009^2}\)

à còn so sánh A với \(\frac{3}{4}\)nữa