Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD của hình tứ giác ABCD

Trong các tam giác AOB và COD theo bất đẳng thức tam giác ta lần lượt có :

          OA + OB > AB

         OC + OD > CD

Cộng theo từng vế bất đẳng thức trên ta có :

       AB + BD > AB + CD  ( đpcm )

Bài 1: 

Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD 

Xét tam giác AEB ta có: AE + BE > AB (trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Xét tam giác DEC ta có: DE + CE > DC (trong một tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Cộng vế với vế ta có: AE + BE + DE + CE > AB + DC 

                                  (AE + CE) + (BE + DE) > AB + DC

                                     AC + BD > AB + DC 

Tương tự ta có AC + BD > AD + BC 

Kết luận: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo luôn lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Nửa chu vi của tứ giác ABCD là: \(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Theo chứng minh trên ta có:

 \(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)< \(\dfrac{\left(AB+CD\right)\times2}{2}\) = AB + CD (1)

Vì trong một tam giác tổng hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại nên ta có:

AB + AD > BD 

AB + BC > AC

BC + CD > BD 

CD + AD > AC 

Cộng vế với vế ta có:

(AB + BC + CD + DA)\(\times\)2 > (BD + AC ) \(\times\) 2

⇒AB + BC + CD + DA > BD + AC  (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

Tổng hai đường chéo của tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác

Bài : 2 Góc C = 180⁰ - 60⁰ = 120⁰

          Tổng bốn góc của tứ giác là 360⁰

           Ta có: Góc B của tứ giác ABCD là:

              360⁰ - (70⁰ + 80⁰ + 120⁰) = 90⁰

Câu b chứng minh như bài 1

Bài 1:

a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác ABC, ADC, ABD và CBD

Bài 3:

Gọi O là giao điểm AD và BC.

Ta có $\hat{C}+\stackrel{⌢}{D}={90}^0$ nên $\hat{O}={90}^0$

Áp dụng định lí Py – ta – go,

Ta có 

$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2.$

$B{D}^2=O{B}^2+O{D}^2$

Nên $A{C}^2+B{D}^2=\left(O{A}^2+O{B}^2\right)+\left(O{C}^2+O{D}^2\right)=A{B}^2+C{D}^2$

Vẽ tứ giác lồi ABCD

+Xét t/g AOB có OA+OB>AB (trong tam giác tổng chiều dài 2 cạnh lớn hơn chiều dài cạnh còn lại) (1)

+ Tương tự ta cũng có OB+OC>BC (2)

+ OC+D>CD (3)

+ OD+OA>AD (4)

Cộng 2 vế của (1); (2); (3); (4) ta có

2(OA+OC+OB+OD)>AB+BC+CD+AD=C (C là chu vi tứ giác)

=> 2(AC+BD)>C => AC+BD>C/2 (dpcm)