Có \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-\left(x^3-y^3-z^3\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(=3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)

\(=3\left(x+y\right)\left[xy+\left(x+y\right)z+z^2\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)

Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ \(\Rightarrow\left(x+y\right);\left(y+z\right);\left(z+x\right)\) đều là ba số chẵn

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮8\)

mà (3;8)=1 và 3.8=24

\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮24\) (đpcm)

mk ko biết bởi vì mk mới hok lp 7 thui

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

từ câu a) ta có: \(\orbr{\begin{cases}x=y+1\\x=y-1\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x-y=t-z\\y=t\end{cases}}\) (3) 

+) Với \(x=y+1\) thì (3) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y+1-y=y-z\\y=t\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=z+1\\y=t\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x=y+1=z+2\) ( x,y,z là 3 số nguyên liên tiếp ) 

+) Với \(x=y-1\) thì (3) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y-1-y=y-z\\y=t\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=z-1\\y=t\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x=y-1=z-2\) ( x,y,z là 3 số nguyên liên tiếp ) 

\(x+z=y+t\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+z^2+2xz=y^2+t^2+2yt\) (1) 

Mà \(xz+1=yt\)\(\Leftrightarrow\)\(2xz+2=2yt\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(x^2+z^2+2yt=y^2+t^2+2xz+4\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-z\right)^2-\left(y-t\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-z-y+t\right)\left(x-z+y-t\right)=4\) (2) 

Lại có: \(x+z=y+t\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-y=t-z\\x-t=y-z\end{cases}}\)

(2) \(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)\left(x-t\right)=1\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x-t=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\x=t+1\end{cases}}\Leftrightarrow y=t\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x-t=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y-1\\x=t-1\end{cases}}\Leftrightarrow y=t\)

Đặt y+z-x=a

      x+z-y=b

      x+y-z=c

Ta thấy a+b+c=y+z-x+x+z-y+x+y-z=x+y+z

Ta có: \(P=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2-a^3-b^3-c^3\)

\(=3a^2b+3ab^2+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2\)

\(=3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2\)

\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

\(=3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(=3\cdot2z\cdot2y\cdot2x\)

\(=24xyz⋮24\)

Vậy P chia hết cho 24

Chị sợ e kh hỉu nên chỵ làm dài dòng xíu nha. em hỉu r thi thu gọn lại bỏ bớt mấy chỗ k cần thiết
1. Vì p nguyên tố và p>3 => p không chia hết cho 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p = 3k+1 =>(p-1).(p+1) =(3k+1-1).(3k+1+1)= 3k(3k+2) 
Vì 3k chia hết 3 => 3k(3k+2) chia hết cko 3. Hay(p-1).(p+1) ckia hết cho 3 (1)
Tương tự p=3k+2 =>p+1 = 3k+3 chia hết cho 3 =)( p-1)(p+1) chia hết cho 3 (2)
từ (1),(2) => (p-1)(p+1) chia het cho 3
Vì p nto và p >3 => p lẻ => p = 2h+1
Ta có (p-1).(p+1)= (2h+1-1)(2h+1+1)= 2h(2h+2)
Mà 2h và 2h+1 là tích 2 số chẵn liên tiếp => 2h(2h+2) chia hết cho 8
Mà (3,8)=1 => (p-1)(p+1) chia hết cho 24