Question

Cho P=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3) Cmr với mọi x,y,z là số nguyên;cùng tính chẵn lẻ thì P chia hết cho 24 (Áp dụng hằng đẳng thức)

Answer 1

Có (x+y+z)3−(x3+y3+z3)(x+y+z)3−(x3+y3+z3)

=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)

=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)

=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2

=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]

=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]

=3(x+y)(y+z)(x+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)

Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ ⇒(x+y);(y+z);(z+x)⇒(x+y);(y+z);(z+x) đều là ba số chẵn

⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8

mà (3;8)=1 và 3.8=24

⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24 (đpcm)