Sử dụng phương pháp phản chứng 
Giả sử n chia hết cho 5 
=>n có dạng 5k 
=>\(\text{n}^2+\text{n}+1=25k^2+5k+1=5k\left(5k+1\right)+1\)
ta có 5k(5k+1) chia hết cho 5 mà 1 ko chia hết cho 5 
=>25k^2+5k+1 ko chia hết cho 5

(đpcm)

 \(\text{n^2+n+1 = n(n+1) +1 }\)
vì n(n+1) luôn là số chẵn suy ra n(n+1)+1 luôn lẻ --> ko chia hết cho 4

cảm ơn bạn ^^

Đặt A=\(4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n\)

A=\(4^{n-1}\left(4^4+4^3-4^2-4\right)\)

A=\(4^{n-1}\cdot300⋮300\)

Ta có:

\(4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n\)

\(=4^{n-1}.4^4+4^{n-1}.4^3-4^{n-1}.4^2-4^{n-1}.4\)

\(=4^{n-1}.\left(4^4+4^3-4^2-4\right)\)

\(=4^{n-1}.300⋮300\)

\(\Rightarrow4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n⋮300\left(đpm\right)\)

4ⁿ⁺³ + 4ⁿ⁺² - 4^n-1 - 4ⁿ 

= 4ⁿ( 4^3 + 4^2 - 4 - 1 )

= 4ⁿ . 75

= 4^n-1 . 4 . 75

= 4^n-1 . 300

=> đpcm

khó quá xem trên mạng

Dễ mà

Ta có: \(4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n\)

\(=4^n\cdot4^3+4^n\cdot4^2-4^n\cdot4-4^n\)

\(=4^n\left(4^3+4^2-4-1\right)=4^n\cdot75\)

Biến đổi tí xíu ta có:

\(4^n\cdot75=4^{n-1}\cdot4\cdot75=\left(4^{n-1}\cdot300\right)⋮300\)