@Akai Haruma, Nguyen, Nguyễn Thị Ngọc Thơsvtkvtm

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự  \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

Thay vào A ta được

\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

=2(xy+xz+yz)=2

\(b,VT=VP\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)

                                                                                                                                                                                                                                                                                    \(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

                                                                                \(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)

\(\Leftrightarrow2=2xyz\)

\(\Leftrightarrow xyz=1\)

Đù =)))

tự ra câu hởi tự trả lời à bạn

tại tui trả lời bài này cho 1 bạn ở trên facebook nên phải chụp màn hình lại nên làm v á

bạn vào trang này nhé có bài như thến này đấy 

//123doc.org//document/3173507-ren-luyen-chuyen-de-tim-maxmin-on-thi-thpt-quoc-gia.htm

tính diện tích hình vẽ dưới đây

Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)

Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)

Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)

Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)

Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)

\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)

\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)

\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)

Vậy \(P\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Đặt \(\sqrt{x}=x;\sqrt{y}=y;\sqrt{z}=z\) cho dễ nhìn.

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=2\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=1\)

Ta có:

\(x\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)+y\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)+z\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)

\(=x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+x+y+z\)

\(=xyz\left(xy+yz+zx\right)+x^2\left(2-x\right)+y^2\left(2-y\right)+z^2\left(2-z\right)+2\)

\(=-2xyz+2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)+2\)

\(=-2xyz+6-\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(=-2xyz+6-2=-2xyz+4\)

Ta lại có:

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)=x^2y^2z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2+1\)

\(=x^2y^2z^2+\left(xy+yz+zx\right)^2-2xyz\left(xy+yz+zx\right)+3\)

\(=x^2y^2z^2-2xyz+4=\left(xyz-2\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(xyz-2\right)^2}.\frac{4-2xyz}{\left(xyz-2\right)^2}\)

Tới đây bí :((

thanks nha, z là ok rồi

Giải tiếp bài làm của bạn alibaba nguyễn:

\(A=\sqrt{\left(xyz-2\right)^2}.\frac{4-2xyz}{\left(xyz-2\right)^2}\)

\(A=\left(xyz-2\right).\frac{2\left(2-xyz\right)}{\left(2-xyz\right)^2}\\ A=\left(xyz-2\right).\frac{2}{2-xyz}\\ A=\frac{\left(xyz-2\right).2}{2-xyz}\\ A=\frac{-\left(2-xyz\right).2}{2-xyz}\\ A=-2\)

Bạn xem lại đề nhé :)

Thay 1 bằng xy + yz + zx được : 

\(1+y^2=xy+yz+zx+y^2=x\left(y+z\right)+y\left(y+z\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

Tương tự : \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\), \(1+z^2=\left(x+z\right)\left(z+y\right)\)

Suy ra \(Q=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}}\)

\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)

\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)(vì x,y,z > 0)

Ta có:

1+x²=xy+yz+xz+x²=(x+y)(x+z)

1+y²=xy+yz+xz+y²=(y+z)(x+y)

1+z²=xy+yz+zx+z²=(x+z)(y+z)

Thay vào A ta được:

\(A=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)\(+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\left(x+y\right)^2\)

\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)

\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)

\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(=2\)

Đây ms là chuẩn :)

Bài khó thế, mình chịu.

Dệ thôi bạn, bạn chứ thay 1 dưới mẫu= xy+yz+xz rồi PT thành NT xong