Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R), điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B, C và A không là điểm chính giữa cung). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AA'.
a) Chứng minh rằng tứ giác BHEA nội tiếp và HE AC
b) Chứng minh HE.AC = HF.AB
c) Khi A di động,chứng minh tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác HEF cố định.
Bài 1: Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA=3R. Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB; AC với (O)
a) CMR: Tứ giác OBAC nội tiếp
b) CMR: OA ⊥ BC
c) Từ B vẽ đường thẳng // AC cắt (O) tại D; AD cắt (O) tại E. Tính AD.AE theo R
d) Tia BE cắt AC tại F. CMR: F là trung điểm AC
Bài 2: Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O); hai điểm B;C cố định. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi H là hình chiếu của A xuống BC. Gọi M;N lần lượt là hình chiếu của B;C đến đường kính AD
a) C/m các điểm A;B;H;M cùng thuộc một đường tròn
b) C/m ΔHMN ∽ ΔABC
c) Gọi I;E lần lượt là trung điểm BC và AB. C/m IE là trung trực của HM
1 Cho đường tròn (O;R)và điểm A nằm ngoài (O).Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O),( B,C là các tiếp điểm).Gọi H là điểm của OA và BC
a)CM Tg ABOC nội tiếp
b)CM OA là đường trung trực của BC
c)Lấy điểm D đối xứng B qua O.Gọi E là giao điểm của đoạn AD với (O),E không trùng D
CM:
d)Tính số đo góc HEC
2 .
Cho đường tròn tâm (O;R) có dây BC cố định (BC khác 2R) và điểm A di động trên cung lớn BC ( A không trùng B,C và điểm chính giữa cung lớn BC ). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E và F lần lượt là hình chiếu của B,C trên đường kính AD của đường tròn (O;R)
a,CMR:các tứ giác ABHE và AHFC nội tiếp
b,Giả sử BC=R√3,EF=R/√3.Tính số đo ^BAC và tỷ số diện tích △ ABC và △ HÈ
c,CMR:khi điểm A di động thì tâm đường tròn ngoại tiếp △ HÈ là một điểm cố định
Bài 2
a) Ta có \(\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^o\). Tứ giác ABHE nội tiếp
=> \(\widehat{EHC}=\widehat{ABA'}=\widehat{BCA'}\)
=> HE//CA'
Vì CA' _|_ AC => HE _|_ AC
c) Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC
Đường tròn ngoại tiếp ABHE có tâm là M nên M nằm trên đường trung trực của HE
Do HE _|_ AC nên trung trực của HE song song với AC và chứa đường trung bình của tam giác ABC
Do đó trung điểm N của BC nằm trên trung trự của HE
Mặt khác E,F là chân đường vuông góc của B và C hạ xuông AA' nên trung trực của EF đi qua trung điểm N của BC
Vậy N là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là 1 điểm cố định cho BC cố định
Bài 1
bổ sung câu c bài hỏi .là : CM \(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\)
bài làm
a) ta có . tam giác ACO zuông tại C , Tam giác ABO zuông tại B
nên C , B lần lượt nhìn AO zới 1 góc =90 độ
=> ABCO nội tiếp
b) ta có tam giác ABC cân tại A do AB=AC
mà AH là đường cao
nên AH cx là đường trung tuyến
=> CH = HB
=> AO là đường trung trực của CB
c) ta có BD là đường kính của O
nên góc BED = 90 độ
xét 2 tam giác zuông BED zà ABD có
góc BAD = góc BDA ( cùng nhìn \(\widebat{BE}\)
BD chung
=> tam giác BED = tam giác DBA
=> \(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\)
câu d )
ta có góc BHO = góc ABO = 90 dộ
=> tam giác BHO ~ tam giác ABO (g.g)
=> \(\frac{HO}{HB}=\frac{BO}{BA}\)
chú ý : BD=2BO ; DC=2HO zà kết quả câu c , ta có
\(\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}=\frac{2BO}{BA}=\frac{DC}{HB}\)
gọi F là giao điểm của DE zà BC ta có
góc CDE = 90 độ - góc CFD = 90 độ - góc EFB = góc HBE
zạy tam giác CDE ~ tam giác HBE ( g.c.g)
=> góc CED = góc HEB từ đó
=> góc HEC= góc HED + góc CED = góc HED+ góc HEB =90 độ
Cho đường tròn (O), dây cung BC (BC không là đường kính). Điểm A di động trên cung nhỏ BC (A khác B và C; độ dài đoạn AB khác AC). Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ đến BC. Hai điểm E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AA'. Chứng minh rằng:
a) 4 điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) BD.AC=AD.A'C
c) DE vuông góc với AC
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố định.
Các bạn vui lòng vẽ hình và giải giúp mình nhé! THANKS FOR READING
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi. D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB
a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
b) Gọi I, J, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua D, E, F. Chứng minh rằng I, J, K cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC. ( M khác B,C ) . AM cắt BC tại N. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của N trên AB, AC. DN cắt AC tại F.
a. CM tứ giác ADNE nội tiếp.
b. FN.FD = FE.FA
c. DE = AM.sinBAC
d. Khi M là điểm chính giữa cung BC nhỏ, hãy so sánh diện tichs ADME và diện tích ABC
cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), BC= Rcan3. M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M lên AB,BC,CA.
a) Chứng minh 4 điểm B,D,E,M cùng thuộc một đường tròn
b) Tính diện tích hình viên phân tạo bởi cung nhỏ BC
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định (BC<2R) . A là điểm di chuyển trên cung lớn BC ( A khác B,C) .Gọi M là điểm chính giữa cung AC , H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Xác định vị trí của A trên cung lớn BC để đoạn CH có độ dài lớn nhất
Cho tam giác ABC đều cạnh a và đường cao AH. M\(\in\)BC. E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB;AC. O là trung điểm của AM.
a/ C/m A,E,H,M,F cùng nằm trên một đường tròn
b/ Tứ giác OEFH là hình gì.? C/m
c/ Tìm GTNN của diện tích tứ giác OEFH theo a khi M di động trên cạnh BC
