Có : x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+zx

<=> 3xyz >= xy+yz+zx

Chia cả 2 vế bpt cho xyz được :

3 >= 1/x + 1/y + 1/z

Lại có : (x+y+z).(1/x+1/y+1/z) >= 9 => x+y+z >= 3

Xét : x^2/y+2 + y+2/9 + x/3 >= \(3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}\)  =  x

Tương tự : y^2/z+2 + z+2/9 + y/3 >= y

                  z^2/x+2 + x+2/9 + z/3 >= z

=> x^2/y+2 + y^2/z^2 + z^2/x+2 >= x+y+z - x+2/9 - y+2/9 - z+2/9 - x/3 - y/3 - z/3

                                                  = 5/9.(x+y+z) - 2/3

                                                >= 5/9 . 3 - 2/3 = 1

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Tk mk nha

\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\ge1\)(*)

có \(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+2}\cdot\frac{y+2}{9}}=\frac{2}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{y+2}\ge\frac{6x-y-2}{9}\)

tương tự có \(\frac{y^2}{z+2}\ge\frac{6y-z-2}{9};\frac{z^2}{x+2}\ge\frac{6z-x-2}{9}\)

Đặt vế trái cả (*) là P. Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(P\ge\frac{5\left(x+y+z\right)-6}{9}\)

Lại có \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge3xyz,x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)

từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge\frac{1}{3}\left(x+y+\right)^2\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Do đó P>=1

đề vũng tàu đây mà 

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)

Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)

Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)

Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)

Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)

\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)

Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)

Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:

\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)

Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ  giùm

Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc  Bunhia nên phải tách nó ra

Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)

                                                                     \(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)

                                                                       \(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)

                                                                        \(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))

 Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)

               \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)

Cộng từng vế của các bđt trên lại được

\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)

                                                                   \(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)

Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được

\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)

Quay trở lại với A

\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy .............

tth làm lạ vậy ? Lí giải hộ chỗ \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}????\)

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)

CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)

\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)

Từ (1); (2) và (3) =>A =  \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)

      Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)

cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)

Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\) (bạn tự chứng minh)

Được : \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\) (đpcm)

Ta có : \(\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}\)

\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky 

\(\Rightarrow\left(x^4+yz\right)\left(1+1\right)\ge\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{2x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}\)

Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{2y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}\\\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{2z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\)

Chứng minh rằng :

\(2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\le\frac{3}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow x^2+\sqrt{yz}\ge2\sqrt{x^2\sqrt{yz}}=2x\sqrt{\sqrt{yz}}\)

\(\Rightarrow\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2\ge4x^2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}\le\frac{x^2}{4x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{4\sqrt{yz}}\)

Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}\le\frac{1}{4\sqrt{xz}}\\\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{zy}\right)^2}\le\frac{1}{4\sqrt{xy}}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{xz}\right)\)

Chứng minh rằng : \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\le\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le3\)

Theo đề bài ta có : \(x^2+y^2+z^2=3xyz\)

\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}\)

Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{xz}}\le\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}{2}\\\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}\ge2\sqrt{\frac{1}{z^2}}=\frac{2}{z}\)

Tương tự ta có :

\(\hept{\begin{cases}\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\ge\frac{2}{x}\\\frac{x}{zy}+\frac{z}{xy}\ge\frac{2}{y}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\right)\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\le3\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\le\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\le\frac{3}{2}\)

Mà \(VT\le2\left[\frac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{2}\) ( đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\text{Σ}\frac{x^2}{x^4+yz}\le\text{Σ}\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\text{Σ}\frac{1}{2\sqrt{yz}}\le\text{Σ}\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{4}=\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{2}=\frac{\frac{xy+yz+xz}{xyz}}{2}=\frac{\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{x^2+y^2+z^2}}{2}\)(1)

Dễ dàng CM được: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Thay vào (1) -> dpcm