a) \(\hept{\begin{cases}2x-3y=5\\4x+y=3\end{cases}}\)   và    \(\hept{\begin{cases}2x-3y=5\\12x+3y=a\end{cases}}\)

Ta thấy \(2x-3y=5\Leftrightarrow2x-3y=5\)(Luôn đúng)

Để 2 hệ tương đương :

\(4x+y=3\Leftrightarrow12x+3y=a\)

\(\Leftrightarrow3\left(4x+y\right)=3.3\)

\(\Leftrightarrow12x+3y=9=a\)

Vậy để 2 hệ phương trình tương đương \(\Leftrightarrow a=9\)

b) \(\hept{\begin{cases}x-y=2\\3x+y=1\end{cases}}\)   và   \(\hept{\begin{cases}2ax-2y=1\\x+ay=2\end{cases}}\) 

Ta có : \(x-y=x+ay=2\)

\(\Leftrightarrow y=-ay\)

\(\Leftrightarrow a=-1\)

Thử lại : \(a=-1\)

\(\Leftrightarrow3x+y=-2x-2y=1\)

\(\Leftrightarrow3x+y-2x-2y=2\)

\(\Leftrightarrow x-y=2\)(TM)

Vậy để 2 hệ phương trình tương đương \(\Leftrightarrow a=-1\)

\(\hept{\begin{cases}ax+by=17\\3bx+ay=-29\end{cases}}\)

Thay x=1; y=-4 vào hệ phương trình ta có:

\(\hept{\begin{cases}x-4y=17\\-12x+y=-29\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=17+4y\\-12x+3y=-29\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=17+4y\\-12\left(17+4y\right)+3y=-29\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=17+4y\\-204-45y=-29\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=17+4y\\y=-\frac{35}{8}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{13}{9}\\y=-\frac{35}{8}\end{cases}}\)

Vậy hpt ...

a, Khi m=2, hệ pt có dạng

{x+2y=22x−2y=1⇔{3x=32x−2y=1{x+2y=22x−2y=1⇔{3x=32x−2y=1

⇔{x=12×1−2y=1⇔⎧⎩⎨x=1y=12⇔{x=12×1−2y=1⇔{x=1y=12

Vậy hệ pt có nghiệm (1;1/2)

b, {x+my=2mx−2y=1⇔{x=2−mym(2−my)−2y=1{x+my=2mx−2y=1⇔{x=2−mym(2−my)−2y=1

⇔{x=2−my2m−m2y−2y−1=0⇔{x=2−my2m−m2y−2y−1=0

⇔{x=2−my(−m2−2)y+2m−1=0(⋅)⇔{x=2−my(−m2−2)y+2m−1=0(⋅)

Hệ pt có nghiệm duy nhất khi pt (.) có nghiệm duy nhất

⇔−m2−2≠0⇔−m2≠2⇔m2≠−2⇔−m2−2≠0⇔−m2≠2⇔m2≠−2(luôn đúng)

∀m∀m ( 1 ) , hê pt có dạng

{x=2−my(−m2−2)y=1−2m{x=2−my(−m2−2)y=1−2m⇔⎧⎩⎨x=2−myy=1−2m−m2−2⇔{x=2−myy=1−2m−m2−2

⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=2−m(1−2m)−m2−2y=1−2m−m2−2⇔{x=2−m(1−2m)−m2−2y=1−2m−m2−2⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=−2m2−4−m+2m2−m2−2y=1−2m−m2−2⇔{x=−2m2−4−m+2m2−m2−2y=1−2m−m2−2

⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x=m+4m2+2y=2m−1m2+2⇔{x=m+4m2+2y=2m−1m2+2

Để x>0 thì m+4m2+2>0m+4m2+2>0 mà m2+2 > 0 ( luôn đúng) ⇒m+4>0⇔m>−4(2)⇒m+4>0⇔m>−4(2)

Để y<0 thì 2m−1m2+2<02m−1m2+2<0 mà m2+2 > 0 ( luôn đúng )

⇒2m−1<0⇔m<12(3)⇒2m−1<0⇔m<12(3)

Từ (1),(2),(3) ⇒∀m⇒∀m thỏa mãn −4<m<12−4<m<12 thì hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0 , y< 0

Hệ có vô số nghiệm 

Xét \(a=0\)=> hệ có nghiệm \(\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)loại

\(a=\frac{1}{2}\)hệ có nghiệm \(\left(-\frac{1}{5},\frac{4}{5}\right)\)loại

Xét \(a\ne0,a\ne\frac{1}{2}\)

Hệ có vô số nghiệm 

=> \(\frac{a}{2}=\frac{2}{a}=\frac{a+1}{2a-1}\)

=> a=2

Khi a=2

=> hệ có vô số nghiệm với\(2x+2y=3\)

=> \(x^2-3x\left(3-2x\right)+\frac{567}{196}\ge0\)

<=>\(7x^2-9x+\frac{567}{196}\ge0\)

<=> \(\left(\sqrt{7}x-\frac{9\sqrt{7}}{14}\right)^2\ge0\)luôn đúng

=> ĐPCM

từ phương trình 1 ta rút \(x=1-ay\)

thế xuống phương trình hai ta có : \(a\left(1-ay\right)+my=2\Leftrightarrow a-a^2y+my=2\)

hay \(\left(m-a^2\right)y=2-a\) để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình có nghiệm duy nhất

nên \(m-a^2\ne0\Leftrightarrow a^2\ne m\)

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì a cần thỏa mãn \(a^2\ne m\)

\(\hept{\begin{cases}ax+y+z=a^2\left(1\right)\\x+ay+z=3a\left(2\right)\\x+y+az=2\left(3\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế được

\(\left(2+a\right)\left(x+y+z\right)=a^2+3a+2=\left(a+2\right)\left(a+1\right)\)

Với a = -2 thì

\(0.\left(x+y+z\right)=0\)bạn làm tiếp nhé

Với a # -2 thì

\(x+y+z=a+1\left(4\right)\)

Lấy (4) lần lược - cho (1), (2), (3) thì tìm được x,y,z

a=2 => Hệ vô nghiệm \(\hept{\begin{cases}x\in R\\y=\frac{5-2x}{2}\end{cases}}\)

a=-2 => Hệ vô nghiệm

a\(\ne\pm2\)=> Hệ có nghiệm duy nhất \(\left(\frac{5+2a}{2+a};\frac{1}{2+a}\right)\)