a: ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC; AC^2=CH*CB

=>AB^2/AC^2=BH/CH

b:

góc B=90-60=30 độ

góc HAB=90-30=60 độ

BC=căn 8^2+12^2=4*căn 13(cm)

HB=AB^2/BC=36/căn 13(cm)

AH=8*12/4*căn 13=24/căn 13(cm)

Ta có \(AC^2=CH.BC=AB.BC\)

Mà \(BC^2=AB^2+AC^2\) \(=AB^2+AB.BC\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AB.BC-BC^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2+\dfrac{AB}{BC}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)  (loại TH \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}< 0\))

\(\Leftrightarrow\cos B=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\), đpcm.

MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow MN//AC\Rightarrow\widehat{MNH}=\widehat{C}\)

HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của \(\Delta AHB\Rightarrow HM=MB=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow\Delta HMB\)cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MHB}=\widehat{B}=2\widehat{C}\)

Ta có: \(\widehat{MHB}=\widehat{HMN}+\widehat{MNH}\Rightarrow2\widehat{C}=\widehat{HMN}+\widehat{C}\Rightarrow\widehat{HMN}=\widehat{C}\)

Vậy \(\widehat{HMN}=\widehat{MHN}\left(=\widehat{C}\right)\) nên tam giác HMN cân

b) Xét ΔMEB và ΔMCF có 

\(\widehat{MEB}=\widehat{MCF}\left(=\widehat{AEF}\right)\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMEB\(\sim\)ΔMCF(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MB}{MF}\)

hay \(ME\cdot MF=MB\cdot MC\)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

hay \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔACB có 

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔACB(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)(hai góc tương ứng)

a, Xét tam giác HAB có: AB² = AH² + BH² => AB² = 4² + 2² => AB² = 16 + 4 = 20 => AB = \(\sqrt{20}\)

 Xét tam giác HAC có: AB² = HA² + HC² => AC² = 4² + 8² => AC² = 16 + 64 = 80 => AC = \(\sqrt{80}\)

^{b, Ta có: AB < AC\(\left(\sqrt{20}< \sqrt{80}\right)\)} 

=>\(\widehat{B}< \widehat{C}\:\)(Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)

Á mk nhầm nha \(\widehat{C}< \widehat{B}\)

#Hk_tốt

#Ngọc's_Ken'z

a )

Xét : \(\Delta ABHva\Delta ADH,co:\)

\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^o\left(gt\right)\)

BH = HD ( gt )

AH là cạnh chung 

Do do : \(\Delta ABH=\Delta ADH\left(c-g-c\right)\)

b ) 

Ta có : \(\Delta ABD\) là tam giác đều ( cmt ) 

= > \(\widehat{BAD}=60^o\) ( trong tam giác đều mỗi góc bằng 60^o ) 

Ta có : \(\widehat{CAD}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}=90^o-60^o=30^o\) ( tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC )

Hay  :  \(\widehat{EAD}=30^o\left(E\in AC\right)\)  

Ta có :\(\widehat{ADH}=60^o\) ( \(\Delta ABD\) là tam giác đều ) 

Ta có : \(\widehat{HAD}=\widehat{H_2}-\widehat{ADH}=90^o-60^o=30^o\)

Ta có : \(AH\perp BC\) và  \(ED\perp BC\)

= > \(AH//ED\) ( vì cùng vuông góc với BC ) 

=> \(\widehat{HAD}=\widehat{ADE}=30^o\) ( 2 góc so le trong của AH//ED ) 

=> \(\Delta AED\) là tam giác cân , và cân tại E ( vì có 2 góc ở đáy bằng nhau ( \(\widehat{HAD}=\widehat{ADE}=30^o\)) ) 

c ) mình không biết chứng minh AH = HF = FC  nha , mình chỉ chứng minh \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}\) thôi nha :

Ta có : \(\Delta ABC\) vuông tại A  và AH là đường cao  ( gt ) 

= > \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}\)  ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ) 

 Hình mình vẽ hơi xấu , thông cảm nha 

HỌC TỐT !!! 

a) Tam giác ABC có AH là đường cao đồng thời là trung tuyến ( BH=HD)

\(\rightarrow\) tam giác ABD cân tại A

Mà  \(\widehat{B}\) = 60 độ \(\rightarrow\) tam giác ABD đều

b) Tam giác ABD đều nên \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{BAD}\) = 60 độ

\(\rightarrow\) \(\widehat{ADE}\) = \(\widehat{HDE}\) - \(\widehat{ADB}\) = 30 độ

Tương tự có \(\widehat{DAE}\) = 30độ

\(\Rightarrow\) Tam giác ADE cân tại E

c1) Xét tam giác AHC và tam giác CFA

           \(\widehat{ACF}\) = \(\widehat{CAF}\) = 30độ

           AC chung

\(\rightarrow\) tam giác bằng nhau ( cạnh huyền - góc nhọn)

\(\rightarrow\) AH = FC

Ta có \(\widehat{BAD}\) = 60 độ và \(\widehat{BAH}\) = 30 độ

\(\rightarrow \) \(\widehat{HAD}\) = 30 độ hay \(\widehat{HAF}\) = 30 độ

 ____Phần còn lại cm tam giác HAF cân là ra 

Mk bận chút việc nên ms làm đến đây thui nka ~

(Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ \(\Delta AHD\)và \(\Delta AHB\)có:

HD = HB (gt)

\(\widehat{AHD}=\widehat{AHB}\)(= 90^o)

Cạnh AH chung

=> \(\Delta AHD\)= \(\Delta AHB\)(c. g. c)

=> AD = AB (hai cạnh tương ứng)

nên \(\Delta ABD\)cân tại A

và \(\widehat{B}=60^o\)

=> \(\Delta ABD\)đều (đpcm)

b/ Ta có \(\widehat{EAD}=90^o-\widehat{DAB}\)

=> \(\widehat{EAD}=90^o-60^o\)

=> \(\widehat{EAD}=30^o\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(\widehat{EDA}=30^o\)

=> \(\widehat{EAD}=\widehat{EDA}\)(= 30^o)

=> \(\Delta EAD\)cân tại E