Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Scarlett Ohara
Xem chi tiết
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
16 tháng 1 2021 lúc 22:35

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(1+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{1.a^3.b^3}=3ab\).

Linh Nguyen
Xem chi tiết
Bá đạo sever là tao
9 tháng 8 2017 lúc 12:36

mịa c đâu ra vậy

Đinh Đức Hùng
9 tháng 8 2017 lúc 13:25

Ta có :

\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)

\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)

Shinichi Kudo
Xem chi tiết

Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)

Nhân từng vế bđt trên =>đpcm

Joker
7 tháng 5 2019 lúc 23:03

\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)

\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)

\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)

Joker
7 tháng 5 2019 lúc 23:06

sửa dòng đầu: \(k,n\ge0\)

Khiêm Nguyễn Gia
Xem chi tiết
Akai Haruma
29 tháng 11 2023 lúc 18:00

Lời giải:

Ta có:

$P^2=2+2(a+b)+2\sqrt{(1+2a)(1+2b)}=2+2+2\sqrt{1+2(a+b)+4ab}$

$=4+2\sqrt{3+4ab}$

Vì $a,b\geq 0$ nên $\sqrt{3+4ab}\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow P^2\geq 4+2\sqrt{3}$

$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}+1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}+1$. Giá trị này được khi $(a,b)=(1,0)$ và hoán vị.

Jung Kook
Xem chi tiết
Phương An
17 tháng 7 2017 lúc 19:05

Biến đổi tương đương:

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Nguyễn Ngọc Linh
Xem chi tiết
Hồ Đức Việt
10 tháng 3 2020 lúc 14:52

Ta có: ( √a - √b)² ≥ 0 ( voi moi a , b ≥ 0 ) 
<=> a - 2√ab + b ≥ 0 
<=> a + b ≥ 2√ab 
<=> (a + b)/2 ≥ √ab 
dau "=" xay ra khi √a - √b = 0 <=> a = b

Khách vãng lai đã xóa
Trí Tiên亗
10 tháng 3 2020 lúc 14:53

BĐT tương đương :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Khách vãng lai đã xóa
Việt Hoàng
22 tháng 8 2020 lúc 10:18

Ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( với mọi a , b )

Vậy ..............

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thị Thảo
Xem chi tiết

Ta có: \(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a-d}{d+b}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+a}+1+\frac{c-a}{a+d}+1\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a+b}{d+b}+\frac{d+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+d}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{xy}\)với mọi x,y>0 

Ta có: \(A+4\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(d+c\right)}{a+b+c+d}\)

\(A+4\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

\(A\ge0\)(dpcm)

Khiêm Nguyễn Gia
Xem chi tiết
Akai Haruma
25 tháng 11 2023 lúc 23:05

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$

nguyễn thị lan hương
Xem chi tiết
luyen hong dung
17 tháng 5 2018 lúc 15:39

Vì \(a,b,c\ge0\)Nên ta nhân a+b+c vào hai vế của bất đẳng thức :

Ta được:\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)-9\ge0\)(2)

Lại có \(ab\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) 

Tương tự:\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)(1)

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)

Vậy..........................................................................................

Dấu "=" <=> a=b=c

Nếu như tớ làm đúng thì bạn k cho tớ với nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Thanks bạn trước! 

Riio Riyuko
17 tháng 5 2018 lúc 15:21

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng engel , ta có 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

Xà Nữ
17 tháng 5 2018 lúc 15:21

Áp dụng bđt cô si cho bộ số a,b,c >0

a+b+c>=3 * với căn bậc 3 của abc

1/a+1/b+1/c>=3 * căn bậc 3 của 1/abc

Nhân 2 vế đựợc (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9

=> đề bài (đpcm)