a: Gọi d=ƯCLN(a;a+b)

=>a⋮d và a+b⋮d

=>a+b-a⋮d

=>b⋮d

=>ƯCLN(a;b)=d

=>ƯCLN(a;b)=ƯCLN(a;a+b)

b: a là số lẻ nên a=2x+1

b là số lẻ nên b=2y+1

\(\frac{a+b}{2}=\frac{2x+1+2y+1}{2}=x+y+1\)

Gọi d=ƯCLN(a;(a+b)/2)

=>d=ƯCLN(2x+1;x+y+1)

=>2x+1⋮d và x+y+1⋮d

=>2x+1-x-y-1⋮d

=>x-y⋮d

=>2x-2y⋮d

=>(2x+1)-(2y+1)⋮d

=>a-b⋮d

mà a⋮d

nên b⋮d

=>ƯCLN(a;b)=d

=>ƯCLN(a;b)=ƯCLN(a;(a+b)/2)

(a,b) =1 
1) gọi p là một ước nguyên tố của ab, vì p nguyên tố, (a,b) nguyên tố cùng nhau nên p là ước của a (không là ước của b) hoặc ngược lại 

=> (a + b) không chia hết cho p (có đúng 1số chia hết cho p, số còn lại ko chia hết nên tổng ko chia hết cho p) 

(a+b) và ab ko có ước chung nguyên tố nào => là 2 số nguyên tố cùng nhau tức là UCLN(a+b,ab) = 1 

bạn đặt UCLN(a+b,a)=d  (\(d\in N\)

=> a+b chia hết cho d kết hợp a chia hết cho d => b chia hết cho d mà UCLN(a,b)=1 nên 1 chia hết cho d=> d=1 

vậy UCLN(a+b,a)=1

mọi ước chung của mọi số đều là 1

Gọi u là ước chung của a và b <=> u thuộc Ư(a) và u thuộc Ư(b) 
<=> u thuộc Ư(a) và u thuộc Ư(a+b) <=> u là ước chung của a và a+b 
Suy ra UCLN(a , b) = UCLN(a , a+b) 

Mà: UCLN(a , b) = 1   => UCLN(a , a+b) = 1 

a)Gọi ƯCLN(a, a - b) = d (với mọi d thuộc N*)

Ta có: a chia hết cho b, b chia hết cho d và a >= b

=> ƯCLN(a, b) = 1 => ƯCLN(a, a - b) = d => 1 = d => d = 1

=> đpcm

b) Gọi ƯCLN(a, a + b) = d (với mọi d thuộc N*)

Ta có: a chia hết cho b, b chia hết cho d và a >= b

=> ƯCLN(a, b) = 1 => ƯCLN(a, a + b) = d => 1 = d => d = 1

=> đpcm

BẠN ƠI mình sory nhé mink lười quá ak mà bạn chứng minh (a , a+b)=1 nhé từ đó suy ra chắc chắn làm đc ak mình bt làm mà ở lớp đc cô giáo dạy ròi 

Gọi d = ƯCLN(a,a - b)(d thuộc N*)

=> a chia hết cho d 

     a - b chia hết cho d

=> a - (a - b) chia hết cho d

=> b chia hết cho d

=> d thuộc ƯC(a,b), mà ƯCLN(a,b) = 1 => d = 1

Vậy: ƯCLN(a,a - b) = 1

                                                  HIELP ME !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!