Gọi giao điểm của Ax với cạnh BC là V, trung trực của BC cắt AC,BC lần lượt tại H,F

Phân giác ^BAK cắt BH tại U. Trung trực của BH cắt BH và AU lần lượt tại E và I

Từ giả thiết ta có ^ABC = 2.^ACB. Do H thuộc trung trực của BC nên ^HBC = ^HCB = ^ACB

=> ^ABC = 2.^HBC hay ^ABH = ^ACB. Từ đó \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)ABC (g.g)

Dễ thấy ^BAU = ^CAV = ^BAC/3, ^ABU = ^ACV => \(\Delta\)AUB ~ \(\Delta\)AVC (g.g)

Do đó \(\frac{BU}{CV}=\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{CB}=\frac{BE}{CF}=\frac{BU-BE}{CV-CF}=\frac{EU}{FV}\)

Cũng dễ có \(\Delta\)IEU ~ \(\Delta\)KFV (g.g) => \(\frac{EU}{FV}=\frac{IU}{KV}\). Suy ra \(\frac{BU}{CV}=\frac{IU}{KV}\)

Kết hợp với ^IUB = ^KVC (^AUB = ^AVC) dẫn tới \(\Delta\)BIU ~ \(\Delta\)CKV (c.g.c)

=> ^IBU = ^KCV hay ^IBH = ^KCB. Mà hai tam giác BIH và BKC cân tại I và K nên \(\Delta\)BIH ~ \(\Delta\)BKC

Từ đây \(\Delta\)BIK ~ \(\Delta\)BHC (c.g.c). Có \(\Delta\)BHC cân tại H => \(\Delta\)BIK cân tại I

Nếu ta lấy một điểm D sao cho ^BID = ^IKA, ^IBD = ^KIA thì \(\Delta\)IBD = \(\Delta\)KIA (g.c.g)

=> ^BDI = ^IAK = ^IAB => Từ giác AIBD nội tiếp. Đồng thời có AI = BD nên AIBD là hình thang cân

=> AB = DI. Mà DI = AK (vì \(\Delta\)IBD = \(\Delta\)KIA) nên AB = AK => \(\Delta\)BAK cân tại A

=> ^AKB = (180⁰ - ^BAK)/2 = \(\frac{180^0-2\alpha}{2}=90^0-\alpha=90^0-\frac{180^0-3\beta}{3}=30^0+\beta\)

Vậy \(\widehat{AKB}=90^0-\alpha=30^0+\beta\).

a) Xét (O) có :

AB là tiếp tuyến tại B

AC là tiếp tuyến tại C 

AB cắt AC tại A

\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)và OA là p/g \(\widehat{BOC}\)

Xét tg ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\)Mà 2 góc này đối nhau

\(\Rightarrow\)ABOC là tg nt

b) Xét (O) có 

\(\widehat{ABE}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE

\(\widehat{BDE}\)là góc nt chắn cung BE

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)

Xét \(\Delta ABEvà\Delta ADB:\)

\(\widehat{BAD}\)chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\infty\Delta ADB\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

c) Vì OA là p/g \(\widehat{BOC}\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)

Do ABOC là tg nt\(\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{BCA}\)(cùng chắn cung AB)

Suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{ACB}\)

a) Có ^AOB = 180⁰ - ^OAB - ^OBA = 180⁰ - ^BAC/2 - ^ABC/2 = 90⁰ + (180⁰ - ^BAC - ^ABC)/2 = 90⁰ + ^ACB/2

b) Dễ thấy A,M,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA (Vì ^AMO = ^AEO = 90⁰) (1)

Ta có ^AOK = 180⁰ - ^AOB = 180⁰ - (90⁰ + ^ABC/2) = 90⁰ - ^ACB/2 = ^CEN (Do \(\Delta\)CEN cân tại C)

=> Tứ giác AOKE nội tiếp hay A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A,M,K,O,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c) Ta thấy A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (cmt) và OK cắt AE tại T

Nên \(\frac{KT}{ET}=\frac{AT}{OT}\)(Hệ thức lượng đường tròn). Kết hợp \(\frac{AT}{OT}=\frac{AB}{OB}\)(AO là phân giác ^BAT)

Suy ra \(\frac{KT}{ET}=\frac{AB}{OB}\). Mặt khác: ^BKN = ^OAE = ^BAO và ^NBK = ^OBA => \(\Delta\)BKN ~ \(\Delta\)BAO (g.g)

=> \(\frac{AB}{OB}=\frac{KB}{NB}\). Từ đây \(\frac{KT}{ET}=\frac{KB}{BN}\)=> KT.BN = KB.ET (đpcm).

Vẽ đường kính AK

+) Dễ có: ^KBC = ^KAC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

+) ^ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^ABK = 90⁰

 Có: ^KBC + ^CBA = ^ABK = 90⁰ (cmt)

       ^BAH + ^CBA = 90⁰ (∆ABH vuông tại H)

Từ đó suy ra ^KBC = ^BAH                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BAH = ^KAC hay ^BAH = ^OAC (đpcm)

Kẻ đường kính AE của đường tròn ( O) . Ta thấy \(\widehat{ACE}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{AEC}=90^o\) (1)

Theo gt, ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^O\) (2)

Lại có: \(\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\) (3)

Từ (1), (2), (3) => đpcm

có AEC = ABC ( góc nội tiếp chắn cung AC) 

mà AHB = AEC ( =90 độ ) 

nên tam giác ABH ~ tam giác AEC

=> BAH = EAC=OAC

Phông chữ bạn ơi

cái moéo j đây

Trả lời :

Cái này vẫn đọc đc. Mấy bn đừng bình luận linh tinh nhé !

- Hok tốt !

^_^