Hình vẽ:

Lời giải:

$(O), (O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ thì $O,A,O'$ thẳng hàng.

$OM\perp MN, O'N\perp MN$ (do $MN$ là ttc)

$\Rightarrow MNO'O$ là hình thang 

$\Rightarrow \widehat{NO'A}+\widehat{MOA}=180^0$ (2 góc trong cùng phía).

Lại có:

Theo tính chất tiếp tuyến, góc thì:

$\widehat{AMN}= \frac{1}{2}\widehat{MOA}$

$\widehat{ANM}=\frac{1}{2}\widehat{NO'A}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{ANM}=\frac{1}{2}(\widehat{MOA}+\widehat{NO'A})$

$=\frac{1}{2}.180^0=90^0$

$\Rightarrow \widehat{MAN}=90^0$

b. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AT$ chung của $(O), (O')$

Theo tính chất 2 tt cắt nhau thì:

$AT=MT=TN$

$\Rightarrow MN=MT+TN= 2AT$

Cũng theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì $TO, TO'$ lần lượt là phân giác $\widehat{MTA}, \widehat{NTA}$

Mà $\widehat{MTA}+\widehat{NTA}=180^0$ nên $TO\perp TO'$

Tam giác $TOO'$ vuông có đường cao $TA$, áp dụng HTL:

$TA^2=OA.O'A=9.4=36$

$\Rightarrow TA=6$

$MN=2TA=2.6=12$ (cm)

Lần sau bạn lưu ý không đăng 1 bài lặp lại nhiều lần gây loãng box toán. Đây được coi như một dạng spam và bài của bạn có thể bị xóa hết không thương tiếc

Ta có: MN ⊥ OM (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: QP ⊥ OP tại P

Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có: MN ⊥ O’N (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: QP ⊥ O’Q tại Q

Ta có:

BM = MA

CM = MA

( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ BC = BM + MC = 2MA

Xét tam giác OMO’ vuông tại M có MA là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMO’ có:

A M 2  = OM.O'M = 16.9 = 144 ⇒ AM = 12cm

⇒ BC = 2.12 = 24cm

Hình vẽ (Vào link là ra): https://i.imgur.com/GssTwiW.png

Ở đây mình sẽ cho R là bán kính của đường tròn O; R' là bán kính của đường tròn O'

a) ta có: \(\hept{\begin{cases}OM\perp MN\\O'N\perp MN\end{cases}}\)=> OM//O'N => \(\widehat{AOM}+\widehat{AO'N}=180^o\)

Xét ΔOAM có OM = OA (= R) => ΔOAM cân => \(\widehat{A_1}=\frac{180^o-\widehat{AOM}}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔO'NA có O'N = O'A (=R') => ΔO'NA cân => \(\widehat{A_2}=\frac{180^o-\widehat{AO'N}}{2}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\frac{180^o-\widehat{AOM}}{2}+\frac{180^o-\widehat{AO'N}}{2}.\)

                                             \(=\frac{360^o-\left(\widehat{AOM}+\widehat{AO'N}\right)}{2}\)

                                            \(=\frac{360^o-180^o}{2}=90^o.\)

 \(\widehat{MAN}=180^o-\left(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}\right)=180^o-90^o=90^o\)

=> ΔAMN vuông tại A

b) ta có: IM, IA là các tiếp tuyến của đường tròn (O) => IO là tia phân giác của \(\widehat{AIM}\)

              IN; IA là các tiếp tuyến của đường tròn (O') => IO' là tia phân giác của \(\widehat{AIN}\)

do IO và IO' là hai tia phân giác của hai góc kề bù => \(IO\perp IO'\Rightarrow\widehat{OIO'}=90^o\)=> ΔIOO' là tam giác vuông.

c) Áp dụng hệ thức lượng trong ΔIOO', ta có: AI² = OA . O'A = 8 x 4,5 = 36 => AI = 6(cm)

Xét ΔAMN vuông tại A, ta có: MN = 2AI = 2 x 6 = 12 (cm)

Đây là cách làm cùa mình. Nếu sai sót thì bình luận nhé!

Học tốt ^3^

Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại E và PQ tại F

Trong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

EM = EA và FP = FA

Trong đường tròn (O’), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

EN = EA và FQ = FA

Suy ra: EM = EA = EN = (1/2).MN

FP = FA = FQ = (1/2).PQ

Suy ra : MN + PQ = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF    (9)

Vì EF là đường trung bình của hình thang MNQP nên :

EF = (MP + NQ)/2 hay MP + NQ = 2EF    (10)

Từ (9) và (10) suy ra: MN + PQ = MP + NQ