a: G là trọng tâm

=>BG=2/3BD; CG=2/3CE
=>BG=CG

=>DG=GE

b: Xet ΔEBC và ΔDCB có

BC chung

góc ECB=góc DBC

EC=BD

=>ΔEBC=ΔDCB

=>góc ABC=góc ACB

=>ΔACB cân tại A

Tam giác ABC có:

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

=> ED là ĐTB của tam giác ABC
=> ED = 1/2 BC và ED // BC (2)

Tam giác GBC có:

Q là trung điểm của BG

P là trung điểm của CG

=> PQ là ĐTB của tam giác BCG
=> PQ = 1/2 BC và PQ // BC (1)

Từ (1) và (2) => DE // PQ và DE = PQ 

=> PQED là HBH

Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: ED//BC và \(ED=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔGBC có

Q là trung điểm của GB

P là trung điểm của GC

Do đó: QP là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: QP//BC và \(QP=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra ED//QP và ED=QP

hay EDPQ là hình bình hành

A) ta có : ED là đường trung bình của tam giác ABC vậy ED song song với BC và ED=1/2BC*

              HK là đường trung bình của tam giác BGC vậy HK song song với BC và HK=1/2BC**

Từ *và ** suy ra : ED=HK=1/2BC; ED song song với HK

         vậy suy ra tứ giác EDHK là HBH

B) Nếu cần điều kiện từ tam giác ABC để tứ giác EDHK là HCN thì tam giác ABC cân tại A

 Vì khi tam giác ABC cân tại A thì ta sẽ có :  EB=DC

 xét tam giác EBC và tam giác DCB có :

EB=DC ( theo CM trên )

 BC cạnh chung

góc EBC = góc DCB ( vì ta đưa ra giả thiết tam giác ABC cân tại A)

vậy tam giác EBC= tam giác DCB

 suy ra : EC=DB 

mà ta lại có : EK=1/2EC

                   DH=1/2DB 

vậy EK=DB: mà theo phần a ta lại có tứ giác DEHK là HBH 

vậy tứ giác DEHK là HCN

Xét tam giác BGC có : \(BM=MG\) 

Có : \(CN=NG\left(gt\right)\) 

\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác \(BGC\) 

\(\Rightarrow MN//BC\)  và \(MN=\frac{1}{2}BC\left(1\right)\)

Xét tam giác \(ABC\) có : \(AD=DC\) ( \(BD\) là đường trung tuyến )

\(AE=EB\) ( \(CE\) là đường trung tuyến ) 

\(\Rightarrow ED\) là đường trung bình tam giác \(ABC\) 

\(\Rightarrow ED//BC\) và \(ED=\frac{1}{2}BC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow ED//MN\) và \(ED=MN\)

Xét tam giác \(BGA\) có : \(BM=MG\) và \(BE=EA\)

\(\Rightarrow ME\) là đường trung bình tam giác \(BGA\)

\(\Rightarrow ME//GA\) và \(ME=\frac{1}{2}GA\left(3\right)\)

Xét tam giác \(CGA\) có : \(CN=NG\) và \(CD=DA\)

\(\Rightarrow DN\) là đường trung bình của tam giác \(CGA\)

\(\Rightarrow DN//GA\) và \(DN=\frac{1}{2}GA\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\Rightarrow ME//DN\) và \(ME=DN\)

Vậy tứ giác \(MNDE\) có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

BD, CE là đường trung tuyến tam giác ABC

=>  AE = BE;  AD = CD

=>  ED là đường trung tuyến tam giác ABC

=>  ED // BC;  ED = 1/2 BC    (1)

M là trung điểm BG  =>  MG = MB

N là trung điểm CG   =>  NG = NC

suy ra:  MN là đường trung bình tam giác GBC

=>  MN // BC;   MN = 1/2 BC  (2)

Từ (1) và (2) =>  MN // ED   ;     MN = ED

suy ra: tứ giác MNDE là hình bình hành

=>  đpcm

a: Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: ED//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\)