Cho tam giác ABC có AB=7cm, BC=4cm, AC=6cm. Kẻ đường phân giác BE của tam giác ABC(E∈ACE∈AC)
a)Tính CE, AE
b)Kẻ CF⊥BE;AH⊥BECF⊥BE;AH⊥BE.Chứng minh AB.BF=BC.BH
c)CF cắt đường trung tuyến BD của tam giác ABC tại G.Chứng minh DF đi qua trung điểm của EG
Cho tam giác ABC có AB=7cm,BC=4cm,AC=6cm.Kẻ đường phân giác BE của tam giác ABC (\(E\in BC\))
a,Tính độ dài AE,BE?
b,Kẻ \(CF\perp BE,AH\perp BE\left(H\in BE\right)\).Chứng minh:AB.BF=BC.BH
c, CF cắt đường trung tuyến BD của tam giác ABC tại G.Chứng minh:DF đi qua trung điểm của EG
Sửa đề câu a thành tính độ dài AE, CE
a, Vì BE là phân giác của ABC
\(\Rightarrow\frac{EC}{BC}=\frac{AE}{AB}\)\(\Rightarrow\frac{EC}{4}=\frac{AE}{7}=\frac{EC+AE}{4+7}=\frac{AC}{11}=\frac{6}{11}\)(Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó: \(\frac{EC}{4}=\frac{6}{11}\)\(\Rightarrow EC=\frac{4.6}{11}=\frac{24}{11}\) ; \(\frac{AE}{7}=\frac{6}{11}\)\(\Rightarrow AE=\frac{6.7}{11}=\frac{42}{11}\)
b, Xét △ABH vuông tại H và △CBF vuông tại F
Có: ABH = CBF (gt)
=> △ABH ᔕ △CBF (g.g)
\(\Rightarrow\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BF}\)\(\Rightarrow AB.BF=BH.BC\)
c, Gọi DF ∩ BC = { K } ; CF ∩ AB = { I } ; GE ∩ DF = { O }
Xét △BIC có BF vừa là đường cao vừa là đường phân giác
=> △BIC cân tại B
=> BI = BC
và IF = FC
mà AD = DC
=> DF là đường trung bình của △CAI
=> DF // AI và 2FD = AI
=> DF // AB
=> DK // AB
Xét △ABC có: DK // AB và AD = DC (gt)
=> DK là đường trung bình của △ABC
=> K là trung điểm của BC
=> BK = KC
Vì DF // AB (cmt)
\(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{BI}{DF}\)(định lý Thales) \(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{2BI}{2DF}\)\(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{2BI}{AI}\) (1)\(\Rightarrow\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DF}\) (Hệ quả định lý Thales)Ta có: \(\frac{CE}{DE}=\frac{DC-DE}{DE}=\frac{DC}{DE}-1=\frac{AD}{DE}-1=\frac{AE-DE}{DE}-1=\frac{AE}{DE}-1-1=\frac{AB}{DF}-2\)
\(=\frac{AB}{DF}-2=\frac{2\left(AI+BI\right)}{2DF}-2=\frac{2AI+2BI}{AI}-2=\frac{2AI+2BI-2AI}{AI}=\frac{2BI}{AI}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{BG}{GD}=\frac{CE}{DE}\)\(\Rightarrow GE//BC\)
\(\Rightarrow\frac{GO}{KC}=\frac{OF}{FK}\) (Hệ quả định lý Thales)\(\Rightarrow\frac{OE}{BK}=\frac{OF}{FK}\) (Hệ quả định lý Thales)\(\Rightarrow\frac{GO}{KC}=\frac{OE}{BK}\)
Mà KC = BK
=> GO = OE
=> O là trung điểm của GE
Mà GE ∩ DF = { O }
=> DF đi qua trung điểm của EG
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm .Kẻ đường phân giác BD của góc ABC (D thuộc AC ) a)Tính BC, AD, DC b)Trên BC lấy điểm E sao cho CE= 4cm. Chứng minh tam giác CED đồng dạng với tam giác CAB c)Chứng minh ED= AD
a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)
hay BC=10(cm)
Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)
nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
hay \(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)
mà AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{AD+CD}{6+10}=\dfrac{AC}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{6}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{CD}{10}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=3\left(cm\right)\\CD=5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: BC=10cm; AD=3cm; CD=5cm
b) Ta có: \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)
Do đó: \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)
Xét ΔCED và ΔCAB có
\(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)(cmt)
\(\widehat{C}\) chung
Do đó: ΔCED\(\sim\)ΔCAB(c-g-c)
cho tam giác ABC có AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm kẻ đường cao AH a,chứng minh tam giác ABC vuông b,tính CE,AE và BE
a: AB^2=BC^2+AC^2
=>ΔABC vuông tại C
b: E ở đâu vậy bạn?
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy E sao cho BE = BA.
a) Tính độ dài BC, biết AB= 6cm, AC= 8cm
b) chứng minh tam giác ABD=tam giác EBD
c) kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh tứ giác ADEH là hình thang vuông.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= 9cm, AC=12cm, đường trung tuyến AM. Qua M vẽ ME vuông góc với AB tại E, vẽ MF vuông góc với AC tại F
a) C/m tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) tinh độ dài BC, AM
c) trên tia đối của tia MA lấy điểm H sao cho MA= MH. C/m ABHC là hình chữ nhật
d) gọi điểm D là điểm đối xứng của M qua F. C/m ADCM là hình vuông
e) tìm thêm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADCM là hình vuông.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. gọi M là trung điểm của BC, N là điểm đối xứng với A qua M
a) C/m tứ giác ABNC là hình thoi
b) Qua điểm A, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt NC tại D. C/m AD=BC
c) kẻ đường cao AH của tam giác ADN, tính độ dài AH, biết AD= 9cm, AN=12cm
Bài 4 cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường phân giác ( M thuộc BC). Từ M lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, Các đường thẳng này cắt AC tại N, Cắt AB tại E.
a) tứ giác AEMN là hình gì ? vì sao ?
b) gọi D là điểm đối xứng của M qua N. C/m tứ giác ADMB là hình bình hành
c) c/m tứ giác ADCM là hình chữ nhật
d) tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác ADCM là hình vuông?
Bài 3:
a: Xét tứ giác ABNC có
M là trung điểm chung của AN và BC
=>ABNC là hình bình hành
Hình bình hành ABNC có AB=AC
nên ABNC là hình thoi
b: Ta có:ABNC là hình thoi
=>AB//NC
mà D\(\in\)NC
nên AB//CD
Xét tứ giác ABCD có
AB//CD
AD//BC
Do đó: ABCD là hình bình hành
=>AD=BC
c: Xét ΔADN vuông tại A có \(DN^2=AD^2+AN^2\)
=>\(DN^2=9^2+12^2=225\)
=>\(DN=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)
Xét ΔAND vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot ND=AN\cdot AD\)
=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)
=>AH=108/15=7,2(cm)
Bài 4:
a: Xét tứ giác AEMN có
AE//MN
AN//ME
Do đó: AEMN là hình bình hành
Hình bình hành AEMN có AM là phân giác của góc EAN
nên AEMN là hình thoi
b: Ta có; ΔABC cân tại A
mà AM là đường phân giác
nên AM\(\perp\)BC và M là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MN//AB
Do đó: N là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
M,N lần lượt là trung điểm của BC,CA
=>MN là đường trung bình của ΔABC
=>MN//AB và MN=AB/2
Ta có: MN=AB/2
MN=MD/2
Do đó: AB=MD
Xét tứ giác ABMD có
DM//AB
DM=AB
Do đó: ABMD là hình bình hành
c: Xét tứ giác AMCD có
N là trung điểm chung của AC và MD
=>AMCD là hình bình hành
Hình bình hành AMCD có \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCD là hình chữ nhật
d: Để ADCM là hình vuông thì AM=CM
=>AM=BC/2
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
\(AM=\dfrac{BC}{2}\)
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{BAC}=90^0\)
1.Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 5cm, Bc= 6cm. Đường phân giác AD, BE, CF.
a)Tính EF.
b)Tính diện tích tam giác DEF
2. Kẻ đường cao BD và CE của tam giác ABC và các đường cao DF và EG của tam giác ADE.
a) C/m: AD.AE = AB.AG = AC.AF
b)C/m: FG//BC
3.Qua điểm I nằm bên trong tam giác ABC, dựng 3 đường thẳng // với các cạnh của tam giác: DE//BC, MN//CA, PQ//AB (D,M thuộc Ab; N,P thuộc BC; E,Q thuộc AC).CMR: (BD/BA) + (AQ/AC) + (CN/CB) = 1
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB=3cm, AC=4cm,đường cao AH (H thuộc BC).
a) tính độ dài BC,AH,CH.
b) từ A kẻ đường phân giác AE ( E thuộc BC) tính độ dài BE ,EC )
c) tính tỉ số diện tích tam giác ACE và tam giác ABE
cho tam giác ABC, AB= 3cm, AC=4cm, BC=5cm. a, chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b, tính các góc các cạnh của tam giác ABC. c, phân giác của góc A cắt BC tại E, tính BE, CE. d, từ E kẻ EM và EN lần lượt vuông góc với AB và AC, hỏi tứ giác AMEN là hình gì, tính diện tích hình tứ giác AMEN
Xét tam giác ABC có :
\(bc^2\)=\(5^2\)=25
\(ab^2\)+\(ac^2\)=\(3^2\)+\(4^2\)=9+16=25
Suy ra:\(bc^2=ab^2+ac^2\)(định lí py-ta-go đảo)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm, AC=8cm. Đường phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Từ C kẻ CE vuông góc BD tại E
c. CM\(\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{BE}\)
d. Gọi EH là đường cao tam giác EBC. Cm: CH.CB=ED.EB
Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AC = 3cm BC = 4cm. Tính góc B, C và cạnh BC. Phân giác góc A cắt BC tại E tính BE , CE từ E kẻ EM vuông góc với AB , EN vuông góc với AC Tính MN